量子计算在亚式外汇期权定价中的应用
内
容
提
要
近年来，量子计算技术发展迅速，已被应用于加密算法、机器学习和衍生品定价等多个领域。文章以亚式外汇期权为例，探索量子计算在奇异衍生品定价中的应用。首先介绍亚式外汇期权及其传统定价方法，然后介绍量子计算的基本原理，并将其应用于亚式外汇期权定价，最后利用市场数据开展实证研究，对量子计算与传统定价方法的计算结果进行了比较和分析。
一、亚式外汇期权及其传统定价方法简介
亚式外汇期权是较为常见的奇异衍生品，其价值与挂钩汇率在观察期内价格的平均值有关。由于汇率价格平均值的波动率通常比汇率价格自身的波动率更低，亚式外汇期权的价格也通常比欧式外汇期权更低。对于期权买方而言，亚式期权是一种成本较低的汇率风险对冲工具。根据《关于进一步促进外汇市场服务实体经济有关措施的通知》（汇发[2022]15号），中国外汇交易中心已于2022年6月13日起在银行间市场新增了亚式外汇期权产品。
亚式期权在到期日的行权规则与普通欧式期权基本一致，二者的区别主要在于对期权执行价格与即期价格的约定。根据期权执行价格是否为固定值，亚式期权可分为平均价格期权和平均执行价格期权两种类型。其中平均价格期权的执行价格为固定值，到期日即期价格由参考区间内价格计算得出；平均执行价格期权的执行价格由参考区间内价格计算得出，到期日即期价格则为真实的即期价格。根据价格平均值计算规则的不同，亚式期权又可分为算术平均值期权和几何平均值期权两种类型。其中，算术平均值期权的价格平均值为参考区间内价格的算数平均值；几何平均值期权的价格平均值为参考区间内价格的几何平均值。
相对于欧式期权，亚式期权行权损益的计算公式更为复杂，很难推导其期权价值的闭式解。目前，业内一般使用解析方法或数值方法对亚式期权进行定价。在解析方法中，Turnbull等在1991年提出的矩匹配法是一种较为经典的方法。针对算术平均价格期权，Turnbull假设参考价格平均值近似满足对数正态分布，通过平均值的一阶矩和二阶矩拟合概率分布函数中的均值和方差参数，再利用B-S公式给出期权价值的近似闭式解。在数值方法中，蒙特卡洛法是一种较为常用的方法。蒙特卡洛法随机生成大量的资产价格变动路径，并在到期日计算各条路径上期权回报的平均值作为期权价值。本文的第三部分将分别应用矩匹配法和蒙特卡洛法对亚式外汇期权进行定价。
二、量子计算基本原理简介
在物理学中，“量子”指能够表现出某物质或物理量特性的最小单元。微观粒子如光子和电子等都属于量子。物理学研究表明，量子存在状态叠加和相互纠缠等特殊现象，其物理规律难以由宏观世界的物理学原理所解释，并由此发展出量子力学这一专门研究量子物理规律的物理学分支。基于量子力学原理可以制备量子计算机。量子计算机通过量子比特的叠加和纠缠进行运算，具有巨大的信息携带和并行处理能力。在某些特定问题上，量子计算展现出远超传统计算的计算效率，甚至可以完成传统计算在理论上无法完成的计算任务，实现所谓的“量子霸权”。
在衍生品定价领域中，量子计算主要的应用方式是量子模拟。衍生品所挂钩的资产价格时刻变化。传统的衍生品定价方法通常假设所挂钩资产价格变化过程的数学形式为随机微分方程，衍生品价格则可以表示为损益函数的数学期望。根据量子力学原理，量子的物理状态同样处在随机变化之中。量子计算机可以使得量子比特的状态满足某种概率分布，并对其进行叠加或纠缠操作以实现加减乘除等运算。对于某种衍生品，可以使用若干量子比特来模拟其损益函数中各随机变量的状态；通过数学变换将损益函数的数学期望转化为某个量子比特的概率振幅；再使用量子振幅估计等方法计算该概率振幅，最终给出衍生品的价格。
以亚式外汇期权为例，假设在时刻即期汇率的变动规律满足类似支付红利的股票价格过程：
（1）
是本国货币无风险利率，
是外国货币无风险利率，
是瞬时波动率，
是风险中性世界下的一维布朗运动，
、
和
都是关于t的确定性函数，不包含随机因素。
的算术平均价格亚式期权，假设当前时刻为
，行权日为
，价格参考点共有
个，分别记做
、
至
，
行权价为K。由风险中性定价原理可知期权价格应满足：
行权价为K。由风险中性定价原理可知期权价格应满足：
（2）
考虑由参考区间即期汇率的自然对数所组成的向量:
（3）
可以证明（证明过程略）的各个分量满足联合正态分布，其分量的均值和协方差分别为：
（4）
（5）
、
和
有关的积分。可利用利率互换和外汇掉期等产品的市场价格构建
和
对应的折现曲线；利用欧式期权等产品的市场价格构建隐含波动率曲面。然后对折现曲线和隐含波动率曲面进行插值，计算得到积分项的具体数值。
的均值和协方差，搭建量子电路来模拟
的分布；然后通过量子振幅估计算法计算（2）式中的数学期望，得到对应的期权价格。
三、实证研究
本文选取美元/人民币算术平均价格亚式期权作为具体研究对象。分别根据矩匹配法、蒙特卡洛法以及量子计算方法计算期权价格，对各方法的计算结果进行分析。
（一）市场数据处理
假定期权类型为看涨期权；期权期限为3个月，参考点分别为1个月末、2个月末和3个月末；期权行权价为参考点远期汇率的平均值。市场数据选用4月11号的收盘价格，具体数据可从中国货币网获取。
表1 美元/人民币即期和隐含利率价格
表2 美元/人民币隐含波动率报价（%）
表1给出了各期限美元/人民币即期汇率、人民币利率和美元隐含利率，可直接计算对应期限的折现因子。当无法获取期权参考点对应的利率时，可以利用Bootstrap方法得到人民币利率曲线，并结合外汇掉期点反算出美元隐含利率，再计算式（2）和式（4）中关于
的积分。
和
表2给出了各期限美元/人民币欧式平价期权隐含波动率的报价（期权执行价是对应期限的外汇远期价格）。为简化计算，本文用表2中的价格来计算式（4）和式（5）中关于波动率的积分，即假设
是
对应期限隐含波动率的报价。
（二）数值程序设置
对于传统定价方法，本文基于Python语言编写数值程序。其中，蒙特卡洛法的时间步长设置为1天，路径数目设置为5000。
对于量子计算方法，由于目前量子计算机价格较为昂贵且对物理环境要求苛刻，业内大多采用量子模拟器进行量子算法的设计验证工作。量子模拟器使用经典计算机模拟量子计算机，是一种低成本的量子算法验证方式。但由于量子模拟器本质上并不是量子计算机，其能够模拟的量子比特数目有限。本文利用开源量子编程框架Qiskit构建量子模拟器来计算亚式期权的价格。其中，价格参考区间中的每个参考价格由3个量子比特来模拟。
（三）计算结果分析
表3 不同方法计算结果
表3给出了不同方法的计算结果。其中，蒙特卡洛法和量子计算方法均重复运行10次并统计价格的均值和标准差；欧式期权则利用BS公式计算相同期限欧式看涨期权（期权执行价为远期汇率）的价格。分析表3中的数据，可以看出：
1.利用量子计算方法能够成功得到亚式外汇期权的价格，说明量子计算具备应用于奇异衍生品定价的潜力。
2.矩匹配法、蒙特卡洛法和量子计算方法得到的亚式外汇平价期权的价格均小于同期限欧式外汇平价期权的价格，证实了亚式外汇期权是一种成本较低的汇率风险对冲工具。
3.相对于量子计算方法，蒙特卡洛法的计算结果与矩匹配法的计算结果更为接近，且蒙特卡洛法的标准差也远小于量子计算方法。说明在本文的参数配置下蒙特卡洛法的表现优于量子计算方法。
四、总结与展望
本文探索了量子计算在亚式外汇期权定价中的应用。研究结果表明，量子计算具备应用于亚式外汇期权等奇异衍生品定价领域的潜力。由于硬件和算法上的局限性，量子计算方法在本文中未能比蒙特卡洛法表现更好。
为进一步提升量子计算方法的表现，可从以下几个方面对本文的研究进行改进：
1.本文仅使用3个量子比特来模拟每个参考点的价格，后续可以进一步增加量子比特的数目以提升模拟精度。
2.本文所使用的量子振幅估计算法中存在近似因子和置信概率等参数，后续可以进一步优化这些参数的组合以提升量子计算的精确程度。
3.本文应用了Qiskit量子编程框架来编写数值程序，后续可以尝试应用TensorFlowQuantum等其它框架以提升表现。
随着未来量子计算技术的发展，量子计算机的性能将会不断提升，量子算法的研究也将更加完善。未来，量子计算方法有望在奇异衍生品定价领域得到更多的应用。