浅谈指标——标准差

来源：淡水泉投资

摘要

我们尝试通过图表、示例，更直观地讲解标准差公式背后的含义和故事。

什么是标准差

标准差（StandardDeviation）常用于衡量投资组合收益率的离散程度，是评估基金业绩波动的一个重要指标。

标准差的计算公式①是：

先计算每期收益率和平均收益率的差值，将其平方后加总，接着将这个平方和除以样本数量，最后再开平方根。为什么大家倾向于用这个复杂的方法去计算波动率呢？这是因为，其他一些简单算法，往往都表现出一定缺陷。

我们用图形来形象描述一下，比如这里每个点代表沪深300指数2022年的月度收益率，横线则是收益率的均值，-2%。

沪深300的月收益率点位沿着均值上下分布

用每个月度收益率减去均值-2%，就得到了每个点到均值的距离（正负号代表的是方向）。标准差要衡量的，就是所有这些点，到均值的距离，从全局来看是一个什么样的离散状态。

收益率到均值的距离构成一条条带有方向的线段

思路1

将差值简单相加？

我们无法把每期收益率和均值的差值加总起来衡量，因为差异正负抵消，得到的结果一定是0。

思路2

差值的绝对值相加？

那是否可以加总差值的绝对值呢？这样就避开了正负值抵消的影响。通过将沪深300指数2022年的月收益和均值之差的绝对值相加，我们得到了63%的结果。这个方法确实避免了前面提到的缺陷，提供了一个衡量离散程度的视角。

绝对值法计算过程

但绝对值法在一些特定场景下会失效。比如有两个基金，4个月收益率分布如下。基金1的收益率最大波动范围是8%（-4%到4%），而基金2的收益率最大波动范围则达到了10%（-2%到8%）。从直观感受来看，基金2的收益率离散程度应该更大。

两只基金的收益率

然而如果计算每期收益率与均值之差的绝对值，会发现两组绝对值加总都是12%。按这个结果，两只基金的离散程度相当，显然这与我们的直观感受存在偏差。

绝对值法得出了相同的计算结果

思路3

差值的平方和？

于是我们选择将差值进行平方再求和。按这个思路，基金1输出的结果是0.40%，基金2的结果是0.56%，基金2确实表现出比基金1更高的波动。

平方和法的结果更符合直观感受

为什么是平方？

在计算波动率的方法中，平方的算法确实被证明更优一些。平方的含义是，不考虑差异的方向（正负），而是计算以差值的长度为边长的正方形的面积，然后加总求和。我们实际上把原先的一维指标升级成了二维指标。

平方就是把距离升格为面积

这样的升格操作有两个作用，一是刚才提到的，它避免了正负差值相抵消；其次，平方能够赋予那些远离均值的点以更大的权重，让它们对总体离散的影响更加显著。比如两个点距离均值分别是1%和2%，一维状态下后者是前者的2倍，但如果平方后，在二维状态下就变成了4倍。

计算了差值平方的总和，我们还要考虑一个问题：如果一只基金运行了1年，有12个月收益点位，另一只基金运行了10年，有120个点位，那它们各自的差值平方加总后，很难进行比较。这时需要排除不同样本数量的差异对加总结果的影响，所以最好用差值平方和除以样本数量，求一个平均值，把双方放回到可比的维度。

到这一步，我们已经可以用这个计算结果来评估不同基金收益率的平均离散程度了。前述的基金1，平均离散程度就是0.40%/4=0.10%，基金2的平均离散程度则是0.56%/4=0.14%。这个指标有一个统计学上的名称——方差（Variance）。

最终：回到标准差

对于衡量离散度这个目标而言，方差已经可以用了。但方差的含义是面积，而对我们而言，最直观的离散程度是用收益点位到收益均值的距离来描述的。面积和距离，二者处在不同维度，也就导致了方差的结果无法和收益率等指标组合起来使用。所以最终，我们选择把方差再做一次降维，开平方根，还原成距离（即正方形的边长）。

回到沪深300的样本，2022年12个月的差值平方和是4.56%，这个值除以12，得到方差0.38%。再开平方根的话，输出标准差结果6%。

平方和法输出的沪深300计算结果

这样我们就可以直观地描述，沪深300的月度收益率，是沿着-2%的均值，在1倍、2倍、3倍标准差的范围内分布的，同时符合一定的概率分布假设。

标准差还有一个常见的用途，就是和收益率组合，用收益率减去无风险利率，再除以标准差。它衡量的是投资者承担每一单位波动，所能获取的超出无风险利率的回报是多少——这个指标就是夏普比率。

关于夏普，我们会开启一篇新的话题，为大家解读。

注释①：本文为简化逻辑，选择了总体标准差的公式，而业绩分析中我们通常使用样本标准差，二者的基本原理一致，区别仅在于计算平方和的均值时除以N还是（N-1）。