浅谈指标——上行标准差与下行标准差
来源：淡水泉投资
摘要
标准差的逻辑是波动即风险，但很多投资人认为，向上波动代表基金赚钱，是“好的”，向下波动代表基金赔钱，这是“坏的”。
从“好”与“坏”中间把波动劈成两半，就得到标准差的两个变形：上行标准差和下行标准差。
标准差不考虑波动方向
假设有两只基金，它们的6个月收益率是这样的：涨跌百分数一样，但方向完全相反。
假设两只基金具有完全相反的收益分布
基金1的累计收益率是9%，而基金2则是-9%。用标准差来衡量两只基金的收益率离散程度，计算结果都是1.3%。如果离散或者波动代表着风险的话，这个结果就有点尴尬，难道两只基金的风险水平相当？
此前标准差的专题中，我们提到标准差使用的平方后加总的算法，其潜在逻辑之一，是避免方向相反的差异被抵消。在这个算法下，超涨5%和超跌5%，平方后都是0.25%，对于离散度的影响是一样的。所以在一些特殊情况下输出的结果与我们的直观感受相背离。
标准差的逻辑是波动即风险，但波动是有方向的。投资最重要的目标是获取收益，所以投资者在用业绩波动去衡量基金风险的同时，潜意识里早已为波动加上了“好”与“坏”的标签。向上波动代表基金赚钱，是“好的”波动，向下波动代表基金赔钱，这是“坏的”波动。所以很多投资人倾向于认为，向上波动是机会，向下波动才是风险。
上行标准差与下行标准差
基于这样的判断，我们可以把标准差从“好”与“坏”中间劈成两半：一半衡量基金业绩上涨或超预期时，这部分收益的离散程度；而另一半则衡量基金业绩下跌或不达预期时，收益率的离散程度。这就是标准差的两个变形：上行标准差和下行标准差（也可以称为上行波动率和下行波动率）。
“好”与“坏”的分界线，一般就不再用收益率均值了，如果均值为负数，比如-2%，我们很难说-2%以内的亏损就是好的。这里需要用到一个最低可接受回报率的概念（MAR，MinAcceptableReturn）。MAR可以是无风险利率，可以是0，或者投资者期望获得的其他收益率。于是上行标准差和下行标准差的公式①，就分别写作：
上行标准差计算收益率大于MAR的这部分差异的平方和，除以总样本数量后开平方根；下行标准差则加总收益率小于MAR的这部分差异的平方和，同样除以样本数量后开平方根。
我们用标准差专题中用过的沪深300指数月度收益率的例子来形象描述。基于简化原则，将MAR确定为0。于是12个月的收益率，就会以0值为界，分为正收益和负收益。到0值的差异，也分为了正向差异和负向差异。
以0值为界区分正向和负向的距离
然后分别以正向差值和负向差值为边长画正方形，上行波动率就加总0值以上的正方形面积，下行波动率则加总0值以下的正方形面积。
分别加总0值以上和以下的正方形面积
按照计算步骤得到最终结果，上行波动率4.01%，下行波动率5.03%。也就是说，沪深300指数在2022年表现出风险大于机会的一面，这个结果与我们感受到的指数表现是一致的。
上行波动率和下行波动率计算过程
回到开头的例子，如果计算两只基金的上行标准差，基金1是1.9%，基金2是0.4%，基金1优于基金2；计算下行标准差，基金1是0.4%，基金2是1.9%，基金1依然优于基金2。这时我们就可以看出，基金1表现出比基金2更好的向上弹性，同时下跌过程中表现得比基金2更为温和。
注释①：本文为简化逻辑，选择了总体标准差的公式，而业绩分析中我们通常使用样本标准差，二者的基本原理一致，区别仅在于计算平方和的均值时除以N还是（N-1）。
