萨缪尔森：经济理论与数学
作 者：PaulA.Samuelson
译 者：Wittt
来 源：ECONOMICSRLUES，OriginalSource:TheAmericanEconomicReview,May,1952,Vol.42,No.2,Papersand ProceedingsoftheSixty-fourthAnnualMeetingoftheAmericanEconomic Association(May,1952),pp.56-66
众所周知数理经济学（mathematicaleconomics）正如日中天。所以我来，不是为了赞美数学，而是为了稍微理清它在经济学中的用途。我这样做是出于对这个主题的热爱，因为我坚信低调陈述和不矫饰是一种美德。
我知道这是一次关于方法论（methodology）的会议（美国经济协会第64届年会，1952年）。因此，我必须面对一些关于数学的本质及其应用的基本问题。关于这个问题，我要说的真的很简单——可能太简单了。我通过简要处理方法论的重要哲学和认识论问题而节省下来的时间，可以很好地用于讨论策略和教学问题——或者你甚至可以称之为经济学的数学和非数学学生必须面对的弗洛伊德问题（theFreudianproblems）。
“数学符号和文学词汇的严格等价。”在我的《经济分析基础》的扉页上，我引用了伟大的威拉德·吉布斯（WillardGibbs）在耶鲁大学全体教员面前的唯一一次演讲。正如教授们在此类会议上所做的那样，他们激烈地争论着必修课的问题：是否应该要求某些学生选修语言或数学？每个人对这些不同主题的相对价值都有自己的看法。最终，吉布斯——一个并不健谈的人，站了起来，发表了一篇四个字的演讲：“数学是一种语言。”
我对这个回答只有一个反对意见。我希望他能把它缩短25%，这样就可以读作：“数学是语言。”我说的完全是字面上的意思。原则上，数学在经济理论中不会比文学差；它也肯定不会比文学更好。因为在最深层的逻辑中——抛开所有的策略和教学问题，这两种语言是完全相同的。
埃尔文·费雪（IrvingFisher）在他60年前写的伟大的博士论文中很好地阐述了这一点。正如我已故的老师约瑟夫·熊彼特（JosephSchumpeter）稍加改进的那样，费雪的说法是：“没有一个地方是你可以坐火车去，但却不能步行去的。”我还要补充一句，“反之亦然”。
近年来，一些大学允许他们的研究生用数学阅读知识来代替一门外语的阅读知识，我认为我们不应该过分重视这一事实。毕竟，我们管理大学的原则是，撒旦会找事情让游手好闲的人去做；事实上，我们可能允许学生在ROTC和elementarybadminton之间进行选择，但这并不意味着这两个科目在方法上是相同的。此外，我们都知道“研究生的阅读知识”是多么委婉的说法。
归纳和演绎。每一门科学都完全基于归纳（Induction）——基于对经验事实的观察。即使是非常不完善的科学也是如此，它们没有天文学和经典物理学的好运。气象学、医学、经济学、生物学以及其他一些在现实研究中只取得了有限成功的领域都是如此。过去人们认为，与归纳并行的是一个同样重要的过程，叫做“演绎”（Deduction），用大写字母D拼写。事实上，某些被误导的方法论者对后者的热情达到了如此的极端，以至于他们认为演绎在某种意义上盖过了纯粹的归纳。
现在，科学只是人类活动的一小部分——这一部分今天被赋予了崇高的地位，但为了这次讨论的目的，我应该剥夺它所有的崇高地位。然而，在某种程度上，我们确实在谈论通常被称为科学的东西，而不是诗歌或神学或其他东西，很明显，演绎在将某些经验假设翻译成它们的“逻辑等价物”方面具有合适的语言作用。对于一个智商比平均水平高出300个标准差（standarddeviations）的人来说，演绎推理的所有三段论问题（syllogisticproblem）都是如此明显，发生得如此之快，以至于他几乎意识不到它们的存在。现在我相信我说的是对的——事实上，这是我要浪费你们时间说出的唯一无可辩驳的、空洞的真理——当我说不是每个人，甚至不是一半的人，都能拥有高于平均值300个标准差的智商。因此，对我们所有人来说，都有一个做出正确推断的心理问题。这就是为什么铅笔有橡皮，电子计算器有铃铛和锣。
我想，当阿尔弗雷德·马歇尔（AlfredMarshall）在约翰·斯图亚特·穆勒（JohnStuartMill）之后谈到逻辑推理的长链所包含的危险时，他一定是这么想的。马歇尔将这样的长链推理视为放射性衰变和泄漏的原理一样——在n个命题的末端，只有一半的真理被留下，在2n个命题的链的末端，只有一半的一半的真理被留下，以此类推，以几何级数收敛到零个真理。很明显，在做这样的陈述时，马歇尔是在描述双足生物或被称为智人的计算机的特性，他当然不可能是在描述逻辑蕴涵的特性。实际上，如果命题A正确地隐含命题B，而B正确地隐含命题C，以此类推一直到Z，那么A隐含Z在它隐含B的每一个意义上都必然是真实的。在一个有效的演绎三段论的任何阶段都不可能有真理的泄漏。所有这样的三段论仅仅是翻译的类型，“玫瑰是玫瑰是玫瑰。”
当涉及到以下形式的逻辑过程时，所有这些都很容易理解：苏格拉底是一个人。人皆有一死。因此，苏格拉底是会死的。不总是那么容易理解的是，这种类型的文字陈述在数学逻辑的符号中有其完全等价的东西。如果我们把它用这样的象征符号写出来，我们就可以节省笔墨；我们甚至可以让一个17岁的大一新生更容易回答诸如“抽烟和不剃胡须的罗宾森是法西斯主义者还是琼斯?”这样的复杂问题。当然，数学符号也可以用文字代替。不过我真不愿意把六只猴子关进大英博物馆，等着它们用文字写出与怀特海和罗素的《数学原理》中的数学公式相当的东西。但如果我们等待的时间足够长，这是可以做到的。
新古典分配理论。在经济学中也是一样的。瓦尔拉斯（Walras）和J.B.克拉克（J.B.Clark）最简单、最基本的生产和分配理论的基石是欧拉齐次函数定理（Euler'stheoremonhomogeneousfunctions）。现在令人怀疑的是克拉克是否听说过欧拉。 当然，他不可能知道齐次函数是什么意思。但是，尽管如此，在克拉克的理论中，隐含着这样一个假设：规模并不重要；重要的是生产要素结合的比例；而哪个生产要素是雇佣要素，哪个是被雇佣要素并不重要。如果我们正确解读这一切的含义，我们会发现，克拉克在谈论理论并知晓这一点的同时，也在谈论同质函数的数学，却未察觉。
我常听到有人批评克拉克，因为他没有更多地关注产品耗尽问题。他似乎从未担心过，作为三角形剩余计算的租金，是否在数值上（精确到小数点后最后一位）会等于作为边际产品矩形计算的租金。就像卡努特国王（KingCanute）一样，他似乎只是简单地指示他的制图师将这些面积画得相等。
正如我所说，克拉克经常因没有深入探讨产品耗尽问题而受到批评。我自己也曾参与这样的批评。然而，现在我有不同的看法——至少从当前关于真实逻辑演绎推理的性质的角度来看，这与人类在认知真理并将其灌输给学生或读者的心理问题是不同的。即使欧拉从未发现他的定理，即使维克塞尔（Wicksell）、瓦尔拉斯（Walras）和维克斯蒂德（Wicksteed）没有将其应用于经济理论，克拉克的理论仍然是清晰的。他关于规模报酬不变（constant-returns-to-scale）和自由进入可行性（freeentry）的假设确保了每个竞争企业的总收入将恰好等于总成本。随着这一点在成本和需求曲线领域得以解决后，教科书作者在书的某个生产章节中突然被“产品耗尽的加总问题”所困扰就没有必要了。
现在让我在这个问题上稍作停留。经济学家们仔细比较了维克斯蒂德和克拉克对这个问题的处理方式，以显示数学在处理这样一个重要的分配理论元素时，绝不逊色于文字。
然而，不那么清楚的是反向问题的答案：文学经济学本质上在处理如此复杂的定量问题时是否确实不如数学。一位杰出的数理经济学家对我说：“欧拉定理对最简单的新古典归因理论来说是绝对基础的。然而，没有数学，你根本无法对欧拉定理进行严格的证明。”
现在我必须承认，经济学文献中确实充斥着对同质函数的欧拉定理的错误证明。但是我不能承认——除非我愿意收回我关于文字和符号的逻辑一致性所说的一切——原则上不可能有欧拉定理的严格文字证明。
事实上，我尝试用文字向我的数学家朋友证明。他正确地指出，在处理无限小量时，这个证明不够严谨。我完全同意。我的论证是启发式的。但我确实认为，如果我和我的朋友能花一个星期左右的时间一起讨论，我可以用文字描述牛顿-莱布尼兹微积分和导数中涉及的基本极限过程，那么这个缺乏严谨性的问题是可以解决的。实际上，更为微妙的Pfaffian偏微分方程的性质原则上是可以用基本的英语表达的。正如列昂惕夫（Leontief）教授所指出的，数学和文字一致性的最终证明在于我们用文字教人们数学，一步步定义每个符号。这并非巧合，数学方程的印刷者被迫在其中加入逗号、句号和其他标点符号，因为方程本质上是纯粹简单的句子。
几何学与文字和数学分析的关系。今天，当一个经济理论家抱怨使用数学时，他通常会赞扬几何图形作为替代方案的优点。情况并非总是如此。七十年前，当像凯尔恩斯（Cairnes）这样的人批评在经济学中使用数学时，他所指的“数学”大概主要是几何图形。从本次讲座的观点来看，古人比现代批评者更接近真理。几何学是数学的一个分支，正如数学是语言的一个分支一样。这很好理解，为什么有些人完全不需要经济理论，反而诅咒数理经济学、图示教科书以及所有精致的文字理论。同样容易理解的是，为什么有些人希望全盘接受经济理论。但除了人性的弱点之外，没有人能理解为什么像凯尔恩斯这样的人会如此钟情于文字理论，却停在图形和符号的门外。或者为什么任何现代方法论者会认为二维图有某种优点，但却不接受三维或更高维度的图。
我认为，这种方法论观点不一致的原因必须在构成我余下评论内容的心理和策略问题中找到。
但在离开讨论数学符号和文字的逻辑同一性之前，我必须考察它对凯尔恩斯著名言论的影响。他生活在这样一个时代，正如我们现在知道的，数学正在帮助诞生一个伟大的新古典综合。然而，凯尔恩斯甚至说过：“据我所见，经济真理并非可以通过数学工具来发现。如果这一观点不正确，可以轻易地反驳它——即通过生产一个以此方式得出而前所未知的经济真理。”现在这一观点直接与马歇尔的观点相反。马歇尔在自己的方式中也对使用数学表示怀疑态度。但他认为这是一种达到真理的方式，只是不是传达这些真理的好方式——这与凯尔恩斯关于这个问题的进一步评论正好相反。
那么，我们该如何看待凯尔恩斯提出的关键实验呢？首先，他本人既无法也不愿使用数学技术；因此，我们可能已经提出了一个凯尔恩斯永远无法识别的新真理。实际上，许多人有力地论证，杰文斯（Jevons）确实做到了这一点。然而，从我一直阐述的方法论观点来看，任何通过数学操作得出的真理必须可以用文字表达；因此，从逻辑上讲，完全可能通过文字单独得出这一真理。字面上解读凯尔恩斯的观点，我们并不需要通过数学得出一个无法用文字证明的真理；我们只需要提出一个历史上未曾通过文字得出的真理。我建议仔细回顾自1870年代以来的文献，会发现实际上相当多的真理是通过使用符号技术（symbolictechniques）的理论家们得出的。特别是瓦尔拉斯的一般均衡理论（generalequilibrium），这是新古典经济学的巅峰之作，已经在瓦尔拉斯撰写《纯粹经济学要义》第一版时被阐明，而那时正是凯尔恩斯写作的时期。
杰文斯、瓦尔拉斯和门格尔（Menger）各自独立提出了所谓的“主观价值理论”（theoryofsubjectivevalue）。我认为门格尔在没有使用数学的情况下提出他的理论对我的当前论文是一个幸运的加分项。但公平地说，最近重新阅读门格尔1871年作品的优秀英文译本使我确信，它在提到的三部作品中是最不重要的；而其在现代作家中相对被忽视，并非简单因为运气不佳或学术疏忽。我还应补充一点，即19世纪70年代的重要革命实际上与主观价值、效用或边际主义关系不大；相反，它集中在完善供求的一般关系上。这最终导致了瓦尔拉斯的一般均衡理论。我们不得不同意熊彼特对瓦尔拉斯的评价，认为他是最伟大的理论家，不是因为他使用了数学——因为使用的方法实际上相当基础——而是因为一般均衡概念本身的关键重要性。
我们可以将拉格朗日（Lagrange）对牛顿的讽刺赞美套用在瓦尔拉斯身上：“牛顿无疑是卓越的天才，但我们也必须承认他很幸运：建立世界体系只能一次！”在他的时代，世界体系仍然有待发现。用“均衡系统”替代“世界体系”，瓦尔拉斯替代牛顿，这个类比仍然成立。
基础方法论总结。在讨论方法论（大写M）时，让我用几个教条式的陈述来总结。所有科学都有共同的任务，即描述和总结经验现实。经济学也不例外。在面对社会科学家与其他科学家面临的方法论问题时，并不存在本质上不同的方法问题。社会科学家确实是他所描述现实的一部分。物理科学家也是如此。社会科学家观察现象可能改变它，这一点也适用于物理科学家进行小尺度观察时所展示的量子力学理论（quantummechanics）和海森堡不确定性原理（Heisenberguncertaintyprinciple）。同样地，如果我们逐一列举所谓的社会科学与其他科学之间的差异，我们会发现在本质上并无差异。
最后，很明显，在任何领域都不存在先验的经验真理（prioriempiricaltruths）。如果某件事具有先验的不可反驳的真理，那么它一定缺乏经验内容。根据现代哲学，它必须被视为无意义的命题。在认识论（epistemology）的前沿，这些问题存在某些细微的困难。但在科学家日常工作的粗略层面上，上述事实在各个学科的科学家中都被广泛认可。唯一的例外可以在经济学的某些落后领域找到，我在这里不打算多加批评那些把即便在其鼎盛时期也并不十分出色的观念带入20世纪的人。
语言便利性的差异。现在我转向这个主题真正有趣的部分。在哪些条件下，一种语言的选择比另一种更方便？如果你是一名需要快速记录口述的速记员，那么毫无疑问，你会更喜欢简写而不是古英语字体。任何公正的第三方都不会怀疑罗马数字在解决商业算术问题时是否比阿拉伯数字更不方便；同样的道理也适用于比较十进制的铸币系统和英语使用的铸币系统。
比较像法语这样的语言与德语、英语或中文会有些困难。我们可以承认，一种语言中的任何命题都可以翻译成另一种语言。但这与一种语言在某种特定用途上是否本质上更方便的心理问题无关。我们经常听到有人说法语是一种非常清晰的语言，而德语则非常晦涩。这一点由一个故事来说明：据说黑格尔直到读了法语译本后才真正理解他的哲学！
我不知道这是否有道理。在我看来，用德语写的Böhm-Bawerk或Wicksell和用英语写的一样直截了当；而我发现马克斯·韦伯（MaxWeber）或塔尔科特·帕森斯（TalcottParsons）则用任何语言都很难理解。我怀疑某些文化会发展出特定的解决问题的方式。在19世纪的德国经济学中，一个很流行的问题是：利率或价值的本质是什么?在回答了这个定性问题之后，利率或价格比率的定量水平就可以解决了。我认为这是一种无效的方法。但我不能把这归咎于德语。
有趣的是，门格尔就这个问题给瓦尔拉斯写了一封信。正如贾菲教授（ProfessorJaffe）那篇有趣的文章(JournalofPoliticalEconomy,1936)所提到的那样，门格尔说，数学对于某些描述的目的来说是非常好的，但它不能让你抓住现象的本质。我真希望我认为数学语言有某种特殊的能力，能把人们的注意力从定性本质的伪问题上引开。我不像门格尔，我认为这是一个很大的优点。
培根和牛顿方法。在许多经验领域中，转换成数学符号似乎没有任何优势。也许免疫学（immunology）就是其中之一，因为我被告知，没有一个疾病的治疗方法——如牛痘接种、白喉预防接种、青霉素和磺胺类药物的使用等等——不是通过最粗略的经验主义发现的，并且偶然因素起到了很大作用。在这里，弗朗西斯·培根（FrancisBacon）的平实方法显示出比牛顿的高深方法更大的优势。如果这是真的，我们必须接受这一事实。我相信许多社会科学和经济学的领域目前正处于这一阶段。很可能许多这样的领域将永远停留在这一阶段。
帕累托（Pareto）认为社会学属于这一类型。但很奇怪的是，他接着论证说，数学的主要优点在于它能够表示复杂的相互作用和相互依赖的现象。我认为我们必须对此持保留态度。如果类比复杂的相互依赖的物理系统能提醒我们单方面因果理论的危险性，那么这种类比是有价值的。但是，在数学概念提醒我们一切事物都相互依赖之后，它们可能不会增加太多额外的价值——除非可以根据事实做出一些特殊的假设。
另一方面，有些领域多年来落入了数学的掌控之中。前面我提到了符号逻辑的例子。现在仍然有一些女子神学院的研讨班以文学逻辑为主导；但没有一个明智的人会期望在未来的几个世纪里逻辑领域会摆脱数学的影响。
另一个领域是物理学。它被数学征服的事实如同热力学第二定律（thesecondlawofthermodynamics）一样坚固和不可逆转。
预言是危险的。但我怀疑，在某种程度上，经济理论领域也会出现同样的情况。一个世纪以来，数学一直在敲门。即使在今天，它也只有一只脚踏入。但是经济理论的问题——比如税收的影响，货币贬值的影响——本质上是定量问题，其答案依赖于许多不同的定量和定性信息的叠加。当我们用文字来解决问题时，就像把这些方程写出来一样。
现在我并不为经济理论辩护。我认为钟摆总是在对具体描述和构建经验抽象总结的尝试之间摆动，一个年代和传统更强调某一过程，而另一个时间和地方则强调另一过程。但我确实认为，当钟摆摆向有利于理论的一边时，会有一种格雷欣法则（Gresham'slaw）在起作用，即更方便的演绎方法将取代不太方便的方法。
符号演绎的便利性。请不要误会。到达某些目的地时，你是步行还是乘火车有很大的区别。没有明智的人会在研究陀螺的运动时自愿局限于文字，而放弃所有符号。同样地，没有一个理智的人在掌握了文学论证和数学操作两种技巧的情况下，会仅仅用文字来解决如下问题：假设你必须将所有税收限制在商品或要素的消费税上，对于鲁滨逊·克鲁索（RobinsonCrusoe）或一个遵循规定标准的社区，什么样的消费税模式是最优的？
我可以继续列举其他问题，但这没有必要。你只需拿起任何一本经济学期刊，翻到有关文学经济理论的文章，就会无数次地证明这一点。
我认为，使用数学符号处理某些演绎推理的便利性是无可争辩的。说数学家从不犯错未免言过其实。和其他人一样，他们也会犯一些严重的错误。但纯粹逻辑上的错误是非常罕见的。真正大的错误通常出现在前提的设定上。逻辑无法防止假设错误，也无法防止对现实的误解，或者防止提出无关的假设。我认为数学媒介的优势之一——严格来说，是数学家习惯性地对证明过程的展示标准，无论是用文字还是符号——在于我们被迫摊开所有底牌，让所有人都能看到我们的前提。不过，我必须承认，我听说过，也确实亲身参与过一些牌局，在这些牌局中，我们有意或无意地从牌底抽牌。因此，没有任何绝对的手段可以防止人为错误。
人类的困境。最后，请问问自己，你会给这样一个年轻人什么建议：他走进你的办公室，讲述了以下令人惊讶的常见故事：“我对经济理论感兴趣。我几乎不懂数学。当我看期刊时，我感到非常困扰。我必须放弃成为理论家的希望吗？我必须学习数学吗？如果是这样，我需要学多少？我已经过了21岁，我还有救吗？”
你可能会像马歇尔对熊彼特的建议那样回答他：忘掉经济理论吧。那里已经出现了收益递减。世界正等待着一千个重要的应用。
当然，这根本不是一个答案。要么这个年轻人像熊彼特那样无视你的建议；要么他接受了你的建议，然而从心理上你给了他最残酷的打击。
我认为一个更好的回答可能是这样的：一些最杰出的经济理论家，无论是过去的还是现在的，都对数学一无所知。另一些最杰出的理论家则掌握了一定程度的数学。显然，你可以在不懂数学的情况下成为伟大的理论家。然而，可以公平地说，你必须更加聪明和才华横溢。
事实证明，如果你研究所有过去伟大的经济理论家的教育背景，会发现他们拥有至少中级的数学训练。马歇尔、维克塞尔、威克斯蒂德、卡塞尔，甚至像尼科尔森或马尔萨斯这样的文学经济学家（literaryeconomist）都是典型的代表。这还不包括像埃奇沃斯、古诺、瓦尔拉斯、帕累托等明显的数理经济学家。
此外，不懂数学会让你面临严重的心理风险。随着年龄的增长，你一定会越来越反感这种方法。要么你会产生自卑感，从理论领域退出；要么你会因自卑感而变得对它的厌恶具有攻击性。当然，这只是概率问题，而不是绝对确定的。更大的危险是你会高估这种方法的好坏。你甚至可能成为骗子的猎物，就像欧拉对狄德罗（Diderot）所说的那样：“先生，（a+bn)/n=x，因此上帝存在；请回答！”然后，你可能像狄德罗一样，羞愧地溜走。或者反过来，你可能不相信下一个真正给你证明上帝存在的数学家。
简而言之——你的建议还可以更进一步——数学既不是在经济理论领域取得丰硕成果的必要条件，也不是充分条件。它可以是一个帮助，但也肯定会是一个障碍，因为把一个优秀的文学经济学家变成一个平庸的数理经济学家是太容易了。
尽管有上述建议，但五年后你再回头看那个年轻人，他可能并不会有太大的变化。事实上，当我回顾近年来的情况时，我注意到纯粹的数理经济学家似乎正在消失，濒临灭绝。相反，正如我一位年长的朋友向我抱怨的那样：“如今，你几乎分不清数理经济学家和普通经济学家。”我理解他说这话的意思，但让我反过来强调一下：这有什么不好吗？
特别声明