图灵编程创始陈诗峰：数学思维的保护和激发
数学思维是一种抽象思维，所谓培养数学思维实质就是培养四大能力：分析能力、演绎能力、洞察能力和直觉能力。
家长培养孩子这些能力时，要遵循孩子的“螺旋式”上升的成长过程，不可操之过急，切勿被应试教育“捆绑”住，导致出现本末倒置的现象。
01.什么是数学思维
数学思维首先是一种抽象思维，我们很多人觉得纯数学难懂，原因就在于无法理解其抽象的部分。
因此，往往希望老师讲课的时候结合日常应用，并且觉得这样的数学才接地气，其实这是完全错误的观念。
数学学科发展得如此精细，究其原因就是从古希腊开始，它摆脱了实际经验，沿着纯逻辑学方向发展，最后成果斐然，反哺物理、化学、医学等学科，大大提高了人类实际生活的水平。
所以，数学老师讲课接地气，是照顾一些抽象思维能力比较弱的学生的讲课技巧而已，并非数学思维的本质。
对于抽象思维能力培养得较好的学生，这些数学的概念本身就是自然而然的，不需要再打什么比喻，做什么类比。
要比较也是在不同的抽象概念之间比较，不需要一定要映射到物理经验世界。
所以，数学思维是一种对抽象思维的内化，对抽象概念不会感到隔阂，能够很自如地运用这些概念进行思考。
但是抽象思维并不等同于数学思维，例如《道德经》也可以算是抽象思维的成果，但它并不是数学。
数学的抽象思维的根本特点是：分析和演绎。
分析，就是对概念进行分解，什么现象都要找到微观的解析。
这是古希腊人探索宇宙奥妙的一种思维特征，早期各文明都有，例如把世界分为多种元素的组合，古希腊人提出过四元素说、中国人提出过五元素说，但是只有古希腊文明这一支想得最深，且不断探究，最后发展出相对成熟的理论体系，最显著的成果就是《几何原本》，而现代的微积分学也称为分析学。
几何原本
文明史表明，如果分析思维一直停滞不前，甚至被后人神秘化，那么这种对宇宙的探索很可能就会退化为巫术。
从个人角度来说，分析思维从儿童时期就具备了，如果能得到正确的引导，发展出严密的分析思维能力不是难事。
如果周围文化环境不好，引导不当，很可能使成人对世界的认知能力停留在儿童期。
演绎，就是从最基础的命题出来，推理产生最终的结论。
平面几何就是古希腊人创造的一套演绎证明法，证明题可能是数学学习的一个令人头痛的地方，也是它最有意思的地方。
这些最基础的命题，古希腊人成为公理，开始的时候公理的选择比较随意，认为很直观就行，并不考虑这些公理是否互相独立、是否有矛盾。
但是这种公理化的思想一直发展，到了20世纪，终于出现一场公理化运动，将各个数学分支的最基础命题都进行的一次大梳理。
最终将数学的基础建立在集合论的基础上，也就说所有数学概念都可以归结为集合这个概念，而集合论的公理也经过反复研究，确定了一套公理系统成为ZFC。
并不是说算术算得快，就是数学思维好，只有熟练掌握了分析和演绎，才能够说具有良好的数学思维能力。
所以说，培养数学思维，实际上就是要在不同层次上，循序渐进地发展分析和演绎的能力。
在分析和演绎的基础上，还有2种更高级的数学思维能力，也是最难培养的2种能力：洞察力和直觉。
所谓洞察力，就是创造性地使用分析思维的能力。当面对一个新问题，先将其解剖，进而发现其本质的能力。
例如，伽罗华将1元5次方程的求根公式问题，归结为系数能够通过加减乘除和开方等初等运算扩张到整个实数域的问题，并且发展出一套全新的理论：群论。
直觉，又可以称为直观能力，也是很多数学大牛人具有的能力，是对演绎方向的一种预判能力，或者是提出猜想的能力。
我们知道证明之所以困难，那就是从起点到结论有很多路径，有时候觉得多到无路可走，例如哥德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想
这种直觉能力来自于对逻辑推理的经验总结，而且必须是多样化的经验，在变化中寻求不变，这就是直觉的来源。
有些人认为，天才的直觉能力强，是因为他/她们对逻辑经验的总结能力特别好所致。
其实不然，普通人如果通过正确的训练方法，也可以逐步形成良好的直觉，这一点我们需要对自己有信心。
02.儿童数学思维发展的阶段
天生具有的数学思维基础
人类天生具有数感，即对时间、空间和存在的感受能力。
这种数感不因为感觉器官而变化，医学表明先天的聋哑人、盲人也具有数感，只是感受的方式和正常人会有所不同。
有一本研究数学学习能力的书《数学脑》研究了很多原始部落的数学水平，发现没有任何教育的前提下，原始人都懂得数1到5，并且懂得5以内的加减法。
这些能力是人类DNA带有的，而现代貌似非常复杂的数学，根本上也就是发端于人类这些原始的数感能力。
人只要能够区分出2个东西在空间上是不同的，能够判断两个东西在时间上是相同的，就可以发展出现代数学，所以儿童先天已具备掌握现代数学的基础能力。
关键是我们怎么让儿童循着正确的认知发展路径去逐步生成高级的认知结构。
4-6岁阶段
这个时期儿童用符号去表达数感，首先是语音符号，其次是图形符号。
因为现代生活中，图形符号很多，所以城市的小孩从图形化思维的角度积累数感经验，将数感与符号的变化对应起来。
这些能力是不需要训练的，小孩子只要过正常的生活，早晚会具备用符号表达数感的能力，最后通过学校训练，规范到用阿拉伯数字来表达。
但是，不应该过于急切地让孩子用阿拉伯数字来表达数感，应该着重培养孩子观察不同符号系统表达数感的异同。
让他能够在概念层次将符号和数区分开来，因为过早地向孩子教授单一的阿拉伯数字，会使得孩子混淆数字符号和数本身。
如果无法区分这2个概念，后面的思维将受到很大局限，例如他会很难理解2进制，学习计算机编程会有很大障碍。
这个时期的孩子，应该充分创造条件从形象思维出发去感受数的内在结构，例如数之间的大小，顺序关系，数数的周期性，什么是无穷大，什么是0等等，一些能够吸引孩子注意力的生活中的现象，游戏和玩具等都是很好的教育手段。
7-10岁的阶段
这个时期是抽象思维的初步发育时期，大脑的神经元连接在学校的一些规范化知识教育之下，可以初步形成网络结构。
这个阶段最大的挑战是防止思维固化，使其保持活性，因为教学是标准化的，大众化的，如果过于执着于标准化，很可能使得思维的活性减弱，也就说说损害了洞察力和直觉能力的发展，而分析和演绎能力也只能跟随教材亦步亦趋，不能越雷池半步，出现“越学越笨”的现象。
那么这个阶段的小学奥数能否提高思维活性呢?
答案是否定的!
因为奥数主要是演绎能力的训练，而在知识很少的阶段，这种演绎很难有标准答案，如果一定要定下标准答案，反而会让学生因为害怕错误而不敢大胆探索演绎方法。
所以，这个阶段的数学思维训练，作为知识教育的补充，重点应该放在让孩子大胆去探索各种分析方法和演绎手段上，而不必过于关注其准确性和标准化程度。
这个阶段的工作，是将现代数学一些分析思想形象化的传递给孩子们，让他们形成基础的认知结构，以迎接将来严格的理论学习。
另外将一些数学证明的思想用朴素的方法展现给孩子们，让他们知道思考问题有多种不同的途径。
11-14岁的阶段
这个阶段是演绎能力形成的关键时期，而分析能力重点在理解前人所构造的概念，对这个概念是否直观有一个判断能力。
演绎能力训练其中一种方法是解题训练，但也不宜过度重复，尤其不应该以应试为导向训练。
对青少年而言，理解演绎方法的多样性比熟练掌握某几类演绎套路要重要得多。
分析能力，这个阶段主要是理解一些比较直观的概念的抽象过程，大量的是几何的概念，以及一些简单的数系的概念。
15-18岁的阶段
这个阶段演绎能力有了基础，应该开发的是分析能力，就是理解复杂概念系统的能力，以及自主构造概念系统的能力。
首先，要多接触不同的概念体系。这个体系甚至可以是非数学的，在各个体系中学习下定义的方法。
这个阶段，前期演绎训练中的难题，在理解了高层次的概念系统之后，会发现变得非常简单。
这就是分析的作用，一个事物看穿本质，必然带来简单性。
很多现代数学的精彩之处都在于其分析思想，概念体系的构建，这些带有美学色彩的内容，高中阶段的学生完全可以提前接触，为将来大学的学习打下良好基础。
03.在低龄阶段如何进行数学思维的开发
孩子在14岁以前的数学思维开发应当遵循以下4个原则——
原则一：从形象思维出发探索抽象概念
形象思维是低龄儿童的思维特点，最早抽象的概念，都是从形象思维归纳总结而成。
所以我们想传达的是抽象的概念，但是必须以形象的问题为切入点。
例如，探索数数结果的恒定性问题，可以让孩子思考，为什么数自己的手指和数爸爸的手指，结果是一样的。
这样作为一种可以操作的探索方法，在探索过程中可以抽象出数是一种独立的存在的概念。
但如果孩子的理解是模糊的，家长也不必强求他/她们有明确的对应的方法去解释这些现象，应该保留他们日后继续自己摸索，探明其中奥秘的机会。
原则二：要勇于探索课本以外的数学问题
目前中小学生数学学习的一个普遍问题就是过于跟随课本，本质上说就是过度应试教育，对课本以外，考纲之外的问题毫无兴趣。
主要原因是，一则没有专门的老师教导、家长不懂如何引导学生去发现和寻找有趣的问题;二则学生也满足于考试成绩优秀即可。
甚至还发现成年人的数学知识退化速度很快，普遍大学毕业10年后就无法理解高中数学知识。
这就是因为在数学学习中，没有自主探索的过程，认知能力被动形成，神经网络连接很弱而且是临时性的，用进废退。
不单是数学学习，其实文科的学习也是如此，一个人考试作文写的很好，但是工作之后，写封Email都写不好，那就是因为他中小学阶段太少自主写作。
我们要给孩子树立一个榜样就是我们关注有趣和深刻的数学问题，而不局限于考试大纲要求，这首先是个态度问题，其次才是方法问题。
课外探索，不一定要求是很难的问题，但是视野一定要开阔。这个最好跟随专业人士的指引，为孩子制定可以攀爬的阶梯。
原则三：孩子要跟家长进行有质量的讨论
讨论对于数学学习是非常重要的，远远超过刷题。
那么孩子最容易找到的讨论对象肯定就是家长了。
家长不应以自己是文科生，不懂数学，工作忙之类的作为借口，而是把这个责任推托给学校，乃至校外培训机构。
要知道学校要所容纳的学生数量巨大，校外培训机构多半是以盈利为主要目的，他们都无法承担起和孩子进行高质量的讨论。
家长应该持有和孩子共同探索的态度进行答疑，引导其思考越发深入。遇到不懂的，可以鼓励孩子自己上网搜索资料。
讨论不一定是要以找到标准答案为目的，还可以以判断问题是否具有美感，是否具有深度等等。
原则四：学习是一个循序渐进的过程
循序渐进也是一个重要原则，因为有些逻辑经验的积累确实需要时间，如果只顾着强调进度而忽略了时间，就使得直觉能力下降。
这一点很多家长是忽略的，如果要学得深，就得学得慢。
目前中小学，特别是小学的学制是有足够的时间去给孩子们慢慢探索的，对于思维能力好的孩子，可以超前学习。
但是超前学习的进度要放慢，多关注细节，培养分析精神和严密的演绎思维。
绝不可为了在考试中占据一些知识上，技巧上的优势，而一味求快，只记结论，不理解其分析原由、不注重演绎过程。
久而久之，学生会渐渐失去对细致研究新知识的兴趣，满足于表面的公式、定理。
最后就会出现数学知识迅速退化的现象，这也是大部分曾经超前学习过的中国成年人在数学学习方面的问题。
