为一大类离散推理问题找到精确解,即使这些问题具有无限支撑和连续...

这是一项重大的推广,需要采用不同的证明技术,因为[26,17,4]中的证明所依赖的幂级数表示P{i∈N}P[X=i]x^i对于连续分布而言是无效的。4实现与优化实现生成函数(GF)语义的主要难点在于计算偏导数。一种自然的方法(如[4,18]所遵循的)是操作生成函数的符号表示,并使用计算机代数来计算导数。然而,...

海森堡的魔法与矩阵力学的创立|薛定谔|量子化|哈密顿_网易订阅

对于H包含p,x混合乘积的情况,式(21)可以采取类似于式(18)的方式证明,较为繁琐,这里从略。如果两个力学量g1和g2的时间演化都可以表示成其与哈密顿量矩阵的对易关系,很容易证明它们乘积的演化也是这样,即。由此,任何力学量O,都可以表示成p和x的幂级数,其时间演化也可以表示成与哈密顿量矩阵的对易关系,...

发散级数怎样求和?

于是他轻率地在等式两边代入x=1,得到等式1/2=1-1+1-1+1-…。然而,这离真理还差了一步。今日,每一个学过初等级数理论的理工科大学生都知道上述幂级数的收敛半径为1,且收敛区域仅仅是开区间(-1,1)。所以欧拉用了错误的幂级数赋值法所得到的是发散级数的广义和。其实,如果他将-1分别乘以如上幂级数展式...

生成模型架构大调查 生成模型的不可能三角

它还使得最大似然训练成为可能,这是一种理论上吸引人的方法,通过最小化真实分布和近似分布之间的KL散度KL[p*(X)||p(X)]来优化模型性能。为了理解变量变换公式之间的共性和差异,我们考虑它们在生成模型的背景下——即,不仅可以计算给定数据实例的密度,还可以根据感兴趣的密度创建合成数据x~p(X)的模型。这...

这些意想不到的包含π的公式,给数学研究增添了很多乐趣

左边的无穷级数是所有整数平方倒数的“和”。首先,欧拉回顾了正弦函数的麦克劳林级数展开式。正弦函数可以写成幂级数。然后除以x得到:欧拉认为上面的左边可以看成是一个无限多项式,我们都知道多项式可以被分解成线性因子的乘积形式其中c是一个数字,上面分母中的r是多项式的根(也称为零点)。任何多项式都可以写成这样...

欧拉对“级数”的研究,发现了其他数学家几十年未能发现的结论

1669年,牛顿在他的《用无限多项方程的分析学》中,用级数反演法给出了sinx,cosx的幂级数,arcsinx,arctanx和e^x的级数展开(www.e993.com)2024年11月23日。格雷戈里得到了tanx,secx等函数的级数,莱布尼茨也在1673年独立地得到了sinx,cosx和arctanx等函数的无穷级数展开式,以及圆面积和双曲线面积的具体展开式。在微积分的早期研究中,有些函数如...

《张朝阳的物理课》探究谐振子模型的量子化问题

其中关于ξ的二次项已经被消掉了。至此,张朝阳将H展开成幂级数代入方程,得到了系数的递推关系。(备注:后面将看到波函数中的H函数为Hermite多项式形式,故这里取其首字母。)紧接着,张朝阳分析了如此递推公式下的幂级数,如果不截断成多项式,会导致波函数不满足边界条件,也就是波函数无法归一化。如果要求这个幂级数截...

希尔伯特第八问题有望终结:黎曼猜想获证!

x+y为可表偶数,由二元素数基底构造而成。经各项不等量内积变换,偶数通解解集确定的整系数方程有且仅有相应确定的最简本原解解集。(存异整合定理,也叫相邻定理)cf(x+y)=af(x)+bf(y)=x+y;x+y=af(x)+bf(y)=cf(x+y)同理可证,上式必定存在同态单满射,因为整数内积运算满足正交性,x,y为...

看得懂的数学之美:从青年欧拉对巴塞尔问题的解法说起

现在等式右边已经完全展开了,我们可以看到平方项系数存在1/n^2(n为1、2、3...),这就是最终需要计算的巴塞尔问题。但左边还没有展开,我们现在还算不出该级数的最终结果。如果我们把等式左边的x移到右边,即产生了一个x三次方项,现在左边只剩下sinc(πx)。现在学过泰勒展开式的你知道要怎么解了...

大学高等数学:第二章第六讲高阶导数及n阶导数的求法

f^2(x)f'(x)=3!f^4(x).由此可归纳证明f^(n)(x)=n!f(n+1)(x)。列题2:求指数函数y=e^x的n阶导数分析:y'=e^x,y''=e^x,y'''=e^x,y^(4)=e^x,一般可得y^(n)=e^x,所以(e^x)^(n)=e^x列题3:求正弦函数与余弦函数的n阶导数...