为一大类离散推理问题找到精确解,即使这些问题具有无限支撑和连续...

这是一项重大的推广,需要采用不同的证明技术,因为[26,17,4]中的证明所依赖的幂级数表示P{i∈N}P[X=i]x^i对于连续分布而言是无效的。4实现与优化实现生成函数(GF)语义的主要难点在于计算偏导数。一种自然的方法(如[4,18]所遵循的)是操作生成函数的符号表示,并使用计算机代数来计算导数。然而,...

生成模型架构大调查 生成模型的不可能三角

允许变量变换公式的模型能够进行密度估计——即,它们可以有效地计算给定数据实例x的概率密度p(X=x)。密度估计是各种下游任务的重要推动者,例如贝叶斯数据推断、异常值检测、竞争假设的比较,或者组合成更大的统计模型,仅举几例。它还使得最大似然训练成为可能,这是一种理论上吸引人的方法,通过最小化真实分布和近似...

发散级数怎样求和?

于是他轻率地在等式两边代入x=1,得到等式1/2=1-1+1-1+1-…。然而,这离真理还差了一步。今日,每一个学过初等级数理论的理工科大学生都知道上述幂级数的收敛半径为1,且收敛区域仅仅是开区间(-1,1)。所以欧拉用了错误的幂级数赋值法所得到的是发散级数的广义和。其实,如果他将-1分别乘以如上幂级数展式...

美丽而“无用”的莫比乌斯反演,解决了一类物理问题

当函数y=f(x)在定义域上将不同的自变量值x映成不同的函数值时,该函数f引出了对应的反函数f-1,它把f的函数值y映回到导致该值的自变量值:x=f-1(y)。这样,函数定义域中的所有x和值域中的所有y建立了一对“反演关系”:y=f(x)当且仅当x=f-1(y)。作为例子,函数y=x3的反函数是x=y1/3。虽然函数有...

一个令人惊叹的数学恒等式,一个天才的发现,一个意想不到的结果

所以我们看到y在0处等于0。把x=0带入通解中,所以c等于1,那么最后,插入x=1,就完成了,现在让我们试着以完全相同的方式理解拉马努金的无限和,将这个和扩展成一个幂级数,只用x的奇数次幂,计算导数,提出一个x,像之前一样,我们将原幂级数命名为y(x),它的导数是y'。所以,...

数学领域有个神奇的分析工具:夹逼定理__财经头条

lim_{x→0}x*sin(1/x)=0这就是夹逼定理的另一个应用例子(www.e993.com)2024年11月23日。除了以上两个例子,夹逼定理还有很多其他的应用场景,例如:求一些特殊函数(如指数函数、对数函数、三角函数等)的极限。求一些无穷级数(如调和级数、交错级数、幂级数等)的收敛性。

数学领域有个神奇的分析工具:夹逼定理__财经头条

lim_{x→0}x*sin(1/x)=0这就是夹逼定理的另一个应用例子。除了以上两个例子,夹逼定理还有很多其他的应用场景,例如:求一些特殊函数(如指数函数、对数函数、三角函数等)的极限。求一些无穷级数(如调和级数、交错级数、幂级数等)的收敛性。

驯服粒子物理学中的“无穷”,用数学方法解决最复杂的物理难题

自庞加莱时代以来,数学家和物理学家已经意识到还有其他类型的项,这些项是“超越所有阶”的,它们比最小的幂项还要小。这些“指数级小”的项可以采用e^(??1/x)的形式,例如,它们提供了丢失的信息。如果将它们包含在级数中,并采用合适的“重新求和”方法使级数变为有限,你就可以减轻部分(甚至可能是全部)的模...

希尔伯特第八问题有望终结:黎曼猜想获证!

故导数f(非1/??2)时扩域出的“两类发散级数之和”构成交错级数,正负两部分的绝对值仅存同态关系,以上可由哥猜推论得到。可见是用哥猜获证做引理,证明了黎曼泽塔函数通项导数的生成元非1/??2时必无0点非平凡解,黎曼猜想获证。本文包括续篇是对希尔伯特第八问题的全面阐释,将囊括哥德巴赫猜想、孪生素数...

大学高等数学:第二章第六讲高阶导数及n阶导数的求法

f^2(x)f'(x)=3!f^4(x).由此可归纳证明f^(n)(x)=n!f(n+1)(x)。列题2:求指数函数y=e^x的n阶导数分析:y'=e^x,y''=e^x,y'''=e^x,y^(4)=e^x,一般可得y^(n)=e^x,所以(e^x)^(n)=e^x列题3:求正弦函数与余弦函数的n阶导数...