最简单的微分方程中怎么会包含圆周率?涉及无理数时,没有巧合

第一项,a0,等于f(0),即当t为0时f的值。但我们不知道函数f是什么,这正是整个问题所在。那么我们如何计算它在0处的值呢?幸运的是,我们不需要知道任何关于函数f的信息就可以计算它在时间0处的值。f=x,我们知道x的初始值(当t=0时)是1,因为这是我们放开手推车之前的起始位置。所以a0=1。计算a1第...

傅里叶级数——这样"魔法"波形的基本概述与动画解释

因此,对于半程傅里叶正弦级数,我们可以安全地消掉a0项和余弦项,如:这样最初的几项现在都被去除了,一个奇函数的傅里叶展开中只有正弦项;显然,这比我们开始要求的傅里叶级数要简单的多。实例现在我们来看一个实际的傅里叶级数的例子。对于这个例子,我们要复制一个方波,它从-1的波谷振荡到1的波峰,...

数学史上创造的最强大的工具:傅里叶级数

我们知道余弦是偶函数如果f(x)=f(-x)那么f(x)的展开式只包含余弦项,如果f(x)=-f(-x)那么f(x)的展开式只包含sin项因为sin是奇函数。计算:以方波的傅里叶级数为例:你可以看到方波的定义如下所示。你可以注意到f(t)=-f(-t)这意味着只有当我们展开这个函数时,我们必须有奇数项。这意味着我们只...

你学不到的知识:我们从全新的视角推导出傅里叶级数

我们可以开始推导“傅里叶级数”(RFS)。假设有一个信号f(t)(假设它是周期信号,意味着随着时间的推移有一个重复的模式),你想把它分解成一系列的正弦和余弦。在这种情况下,你要做的是用P(t)近似f(t)其中P(t)表示如下:在这里,一堆a和b都是最终要获得的系数,因此P(t)是正弦和余弦的某种组合,可以很好...

薛定谔方程引出过程中存在的问题及解决方案

要知道,这种对应关系只有在相对论性条件下才能成立。本文将对这一问题作一个合理的解释,以表明三种近似方法的结果是一致的。一种方法就是传统的做法,虽然这会导致E、P前后物理意义不一致的问题,但不影响最终结果。第二种方法是从爱因斯坦能量—动量公式出发,保留E和P的相对论性,级数展开后,把能量算符和...