为什么上、下极限相等, 是收敛数列的充要条件!
ε>0,存在N>0,使得当n>N时,就有xn-A<ε.先证必要性,即当数列收敛于A时,证明上极限和下极限存在却都等于A。首先存在是一定的,因为极限存在,就是有聚点,如果聚点唯一,那么它就既是最大聚点,也是最小聚点,从而上极限和下极限都存在,且都等于A。现在的关键是证明数列有唯一的聚点设B≠A是{xn}...
原来上、下极限本身也是有充要条件的
(1)存在N>0,使得当n>N时,有xn>▁A-ε;(2)存在子列{x_(nk)},x_(nk)<▁A+ε,k=1,2,….下面老黄为你解读证明:(这里只证上极限的充要条件,下极限的充要条件同理,或直接取相反数列得证)证明:[必要性]∵A?是{xn}的聚点,先证必要性,就是假设上极限,证明条件(1)(2)都成立。...
数列极限重点中的重点:柯西收敛原理
柯西收敛原理就是:判断一个数列收敛的充分必要条件是,这个数列是基本列。必要性是十分显然的,如果数列收敛的情况下,根据数列极限定义,必然会收敛到一个值,而这两项充分靠后的情况下也是充分接近的,我们可以在两项中间任意取值都可以缩小到事先给定的任意程度,也就是小于ε。充分性的已知是基本列,需要证明这个基...
高数也可以很简单, 用聚点定理证明柯西收敛准则的充分性
若S是无限集,由聚点定理,S有一聚点A,由聚点定义可知,存在{a_(nk)},使lim(k→∞)a(n_k)=A.即{an}必有收敛子列.一定存在{an}的一个收敛子列,包括常数列的情形,而这个收敛子列是以聚点A为极限的又?ε>0,?N>0,当k,m,n>N时,am-an<ε/2,a_(nk)-A<ε/2,前面的...
如何证明数列的敛散性?
4、收敛数列具有保号性和保不等式性5、收敛数列满足四则运算法则6、满足夹逼定理那么如何证明数列收敛呢?上面的性质是收敛数列可以得到的结论,也就是收敛数列的的充分性(收敛数列是条件,性质是结论,条件推出结论[充分性])。下面介绍利用以下性质证明数列收敛...
五邑大学2022年硕士研究生招生考试《数学分析》考试大纲
(二)数列极限1.极限思想(B)数列极限概念(A)2.收敛数列的性质(A)收敛数列的四则运算法则(B)一些常见的极限(A)子列及其性质(A)3.单调有界定理、柯西准则及其应用(A)(三)函数极限1.各种类型的函数极限的概念(A)