数学悖论系列之六(选择公理的悖论)
一阶逻辑中的任何公理系统都被认为是自动包含了一阶逻辑的所有逻辑公理,所以ZFC可以说包含了更多的公理,也因此可以证明更多的东西。但由于哥德尔的不完备性定理意味着任何“合理的”公理系统都不可能是完整的,也就是说,总有一些陈述不能用公理来证明或证伪。当我们说我们可以证明某些集合的存在时,我们的意思是这些...
公理与定理的区别
综上所述,定理与公理在定义、证明过程、形成方式、适用领域及所属领域等方面均存在显著差异。公理作为不证自明的真理,是构建学科理论体系的基础;而定理则是通过逻辑推理和证明得到的真命题,是数学和科学领域中的重要成果。两者相辅相成,共同构成了人类知识体系的基石。(李志民,图片由AI生成)...
重磅 理论基础:贝叶斯力学的几何和分析,自由能的复杂系统理论 四...
稳态和非稳态自适应性(示例2.2.2和2.2.4)之间的区别在于表征类系统状态的吸引子是否漂移:系统是否改变其环境以维持固定、稳定的状态制度,或者,它会根据环境改变其统计数据吗?相反,惰性平稳性和自适应平稳性(示例2.2.1和2.2.2)之间的区别在于系统是否抵抗平衡驱动。我们还引入了非固定且惰性的系统。我们可...
陶哲轩全网悬赏「最强大脑」!AI+人类颠覆数学难题?凡尔赛网友已下场
因此,举例来说,等式7表示交换律公理,而等式10表示结合律公理。常数公理等式1是最强的,因为它限制了原群G最多只能有一个元素;与之相反,自反公理等式11是最弱的,所有原群都满足这一公理。接下来,我们就可以探讨这些公理之间的推导关系:哪些公理能推出哪些公理?例如,等式1可以推导出这个列表中的所有其他公理,而...
重庆特异埋藏化石库的无颌鱼类化石上,发现人类四肢的线索!
研究团队通过详细的比较解剖学研究,发现双叉苗家鱼和2022年登上《自然》(Nature)期刊封面的灵动土家鱼(Tujiaaspisvividus)关系密切,二者具有很多相似的特征。令人惊喜的是,双叉苗家鱼保存了与头甲相连的部分身体,以及位于身体腹面两侧的成对鳍褶。盔甲鱼的鳍褶最早见于灵动土家鱼,而盔甲鱼成对鳍褶的发现,...
陶哲轩最新采访:AI将颠覆数学界!用Lean规模化,成百上千条定理一次...
有一个名为mathlib的庞大项目,所有本科数学的基本定理,如微积分和拓扑学等,都被一一收录到这个库中(www.e993.com)2024年10月3日。人们已经投入了大量的工作,将公理提升到相当高的水平。我们的梦想是把数学库真正提升到研究生教育的水平。这样,数学的形式化就会容易得多。我们还期待有更好的搜索方法,因为如果你想证明某件事情,你必须能够找...
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然而值得注意的是,确定一组等式公理是否决定另一组等式公理的一般问题,是不可判定的。因此,这里的情况有点类似于「忙碌海狸」挑战,即在某个复杂点之后,我们必然会遇到不可判定的问题;但在达到这个阈值之前,我们仍有希望发现有趣的问题和现象。上面的哈斯图不仅断言了列出的等式公理之间的蕴含关系,还断言了公理...
胡扬: 论元哲学辩护——以语境论为例|美学|方法论|逻辑学|相对...
经过“精释”活动,我们需要根据以下四条标准来确立精释者:与待精释者相似(similarity),足够精确(exactness),可用于表达科学定律或逻辑定理(fruitfulness),简洁性(simpleness)。笔者认为,这四条标准构成精释者的元性质。它们不属于精释者本身的任何概念部分,在一个二阶层面刻画“精释者之所以是精释者”的一般条件。
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因此,举例来说,等式7表示交换律公理,而等式10表示结合律公理。常数公理等式1是最强的,因为它限制了原群G最多只能有一个元素;与之相反,自反公理等式11是最弱的,所有原群都满足这一公理。接下来,我们就可以探讨这些公理之间的推导关系:哪些公理能推出哪些公理?
李德毅院士:人类的四种基本认知模式
思维的最高形式是数学,数学是人类自然语言的高阶形态,是建立在明确的公设定理体系之上的。通过数学反映万物,通过函数和泛函反映万物之间的关联,形成人类认知自然的一个飞跃。抽象的数学语言从无到有的形成过程很漫长。文字产生之初就开始发明数字符号,数和直线等基础概念的形成经过了漫长的时间,数学作为一种基于公理知识...