数学悖论系列之六(选择公理的悖论)
一阶逻辑是一个逻辑系统,它包括逻辑公理和演绎规则的集合,而ZFC是根据一阶语言编写的公理的集合。一阶逻辑中的任何公理系统都被认为是自动包含了一阶逻辑的所有逻辑公理,所以ZFC可以说包含了更多的公理,也因此可以证明更多的东西。但由于哥德尔的不完备性定理意味着任何“合理的”公理系统都不可能是完整的,也就是说,...
揭秘数学的语言:从定义到公理的逻辑之旅
与定义不同,公理(又称公设)是一个数学系统中被普遍认为是基础真理的陈述,而无需证明。公理是构建数学理论的出发点。一组公理能构成某个公理系统的基础框架,用于建立特定的数学理论。每个公理系统都试图以最少且最基本的假设出发,来构建整个理论体系。例如,欧几里得几何的五大公理、皮亚诺公理(Peanoaxioms)与集合...
陶哲轩悬赏「大脑」!AI+人类颠覆数学难题?凡尔赛网友已下场
因此,举例来说,等式7表示交换律公理,而等式10表示结合律公理。常数公理等式1是最强的,因为它限制了原群G最多只能有一个元素;与之相反,自反公理等式11是最弱的,所有原群都满足这一公理。接下来,我们就可以探讨这些公理之间的推导关系:哪些公理能推出哪些公理?例如,等式1可以推导出这个列表中的所有其他公理,而...
学会线性代数、概率论,高等数学到底能干啥?
这在实数理论架构时体现明显,闭区间套定理,有限覆盖定理,极限点定理都不同程度的运用了反证法。而数学归纳法普遍运用于自然数和整数的一些证明,比如运算法则的架构上。而很多好的证明也涉及这两种证明,比如“质数有无穷多个”的证明就是一个非常古典和经典的反证法证明,然而我猜,大多数人在接受中小学教育时并不...
行业本质理论与第一性原理的关系初探
在数学中,第一性原理是一个或几个公理,且不能从系统内的任何其他公理中推导出来,例如:1+1=2。在理论物理中,第一性原理是指一个计算直接从物理定律建立,不做经验模型和拟合参数等假设,例如,牛顿力学定律。生物学的第一性原理是达尔文提出的“物竞天择、适者生存”理论。在近代社会,第一性原理已经扩展到许多...
科学家阐释纯量子AI算法理论,对同类算法具有普遍指导意义,或极大...
投稿过程中针对审稿人的意见,课题组在回复中表示:本次工作并非着眼于一般性的量子神经网络性能研究,而是基于奥卡姆剃须刀原理和“没有免费的午餐”定理(即人工智能的两大公理),来刻画纠缠效应对量子人工智能模型能力的影响(www.e993.com)2024年10月17日。因此,这些结果是与数据和优化器毫无关系,故更加具备深层次和广义性。
哥德尔不完备性定理的意义是什么?
这样,我们得出一个重要结论:纯数学知识作为可测量的可靠信息,一开始就已经被包含在定义该数学分支的公理之中了。公理作为符号系统的结构,是符号组合的可能性空间缩小;纯数学研究(如定理证明)不是别的,其乃从公理集合中提取相应可测量的可靠信息的活动。
...遭到了整个数学界的反驳,最后却逆袭成为了最伟大的定理之一!
我们都知道答案:没有区别,两个新旅馆,和原来的旅馆一模一样,房间数一样,每个房间的大小也一样。同样的,我们往下对“巴拿赫-塔斯基分球定理”这个“无穷”的概念做一个更深层次的理解。一个三维实心球,必定存在一种办法分成有限部分,然后仅仅通过旋转和平移,就可以组成两个和原来完全相同的球(半径相同,密度相同...
初中数学之8.3 基本事实与定理
1、我要理解公理、定理和证明的含义以及它们与命题之间的联系与区别;2、我会区分公理和定理的题设和结论,把命题写成"如果……那么……"形式;3、我会结合实例意识到证明的必要性,培养说理有据,有条理的表达自己想法的良好意识,了解证明的步骤和格式。学习重点知道什么是公理,什么是定理,什么是证明。学...
代数是如何发展到如此抽象的地步的?抽象难懂的代数概念有啥用?
第一个是一个代数几何证明,出现在他1799年的博士论文中,而第二个证明与此不同,发表在1816年,而用现代术语来说,本质地涉及构作多项式的分裂域,代数的基本定理确定了一个给定的多项式方程有多少个根,但是对于这些根确切地是什么,又如何精确地把它们找出来,这个定理没有提出任何见解。那个问题和它的种种数学变形,...