欧拉对“级数”的研究,发现了其他数学家几十年未能发现的结论

欧拉将收敛级数定义为,“级数的项不断地减小,当级数的项数趋于无穷时,它的项完全消失,这样的级数被称为收敛级数”“发散级数则就是那些不是收敛级数的级数,即级数项为某个不为零的有限量或趋于无穷的级数。在级数理论研究中,欧拉还运用了一个原则:若级数的部分和是无穷小的,则级数是收敛的。这个原则看起来像柯...

在线计算专题(08):泰勒公式、常值级数、幂级数与傅里叶级数求和与...

sum((-1)^n)/((n)^(1/2))+1/n,n=1tooo执行结果显示如下.计算结果直接告诉我们,该级数是不收敛的,即发散的.3、泰勒多项式与泰勒级数例1求函数关于的泰勒级数参考输入表达式为seriesarctanx执行结果显示如下.结果默认给出带皮亚诺余项的泰勒公式,在后面则会给出一般性的泰勒级数表...

π的5个著名公式及其证明——圆周率是永恒的,不变的真理

具体地,我们可以使用数学归纳法证明这个级数的前n项和是π/4的一个逼近值。然后,使用级数收敛定理可以证明这个级数收敛于π/4。莱布尼茨公式是计算π的一种简单方法,但是它的收敛速度相对较慢,因此在实际计算中通常使用其他更有效的方法。证明有很多方法可以证明这一公式,例如,我们可以证明函数arctan(z)的泰勒级...

3月14日“π日”:我们总是与π这个数学常数不期而遇

它表示“还原”正切函数,也就是说,如果y=tanx,那么x=arctany,因此有arctan1=π/4。玛达瓦和格雷戈里发现了关于arctany的无穷级数:设y=1,可以得到1699年,亚伯拉罕·夏普利用这个公式将π计算到71位,但这个级数收敛得很慢,也就是说,你必须算许多项才能得到一个比较好的近似值。

如何优雅地计算π?

在实际计算过程中,人们更倾向于使用上面这个公式。它是由莱布尼茨于1674年发现,被称为格雷果里-莱布尼茨公式。不过有的小伙伴已经发现,这其实就是arctan函数的麦克劳林展开。由于太过于出名,相信大家已经烂熟于心,所以这里就不过多介绍公式的证明了。当x取1时,arctan函数恰好等于π/4,所以比起以往的算法更为简单。

追寻蕴藏在圆周率 π 之中的无限美丽|爱因斯坦|数学家|欧拉|近似...

当今世界人类有很多方法去计算π,最早的格雷果里-莱布尼茨公式如下图所示(www.e993.com)2024年12月19日。这样利用无穷级数去表示反正切函数arctanx,把无穷多个小数加到一起计算出了π。当x=1代入方程即能求得π/4的值。人们所展开的项越多,结果越趋近于π。不过该级数收敛速度实在太慢,为了精确得到π小数点后10位,我们要把...