美国学者称:可用简易方法证明费马大定理

据美国《科学日报》报道,美国哲学家和数学家科林·迈克拉蒂日前称:用皮亚诺算术(PeanoArithmetic)证明费马大定理比英国数学家安德鲁·怀尔斯所用的方法简单和所用的公理少,而且大多数数学家都容易看懂和理解。其言论一出,震惊了学界。1637年,法国数学家皮埃尔·费马在研读古希腊数学家丢番图所著的《算术》一书Ⅱ...

公理与定理的区别

公理:公理是不能也不需要被证明的,因为它们是基于人类长期实践经验和理性认识的不证自明的事实。作为公认的真理,公理可以直接作为推理的起点。定理:定理则需要经过严格的逻辑推理和证明过程来验证其正确性。定理的证明通常涉及从已知的真命题出发,通过演绎推导得出新的真命题。这种推理过程必须遵循逻辑规则,以确保结论...

有些数学命题是无法用数学方法证明的

哥德尔最著名的成果之一是他的不完备性定理,该定理表明,在任何一致的公理数学系统中,都有无法在系统内证明或反驳的命题,并且公理本身的一致性也无法证明。1906年,库尔特·哥德尔(KurtG??del)出生,当时的数学领域看似已经几乎完备。数学领域的长期发展成果已被整理成几条公理,根据这些公理,人们似乎可以几乎机械地证明...

数学悖论系列之六(选择公理的悖论)

如果假设选择公理为真,则可以证明并非所有欧氏空间的子集都是勒贝格可测的,这样的集合的例子包括维塔利集合,以及豪斯多夫悖论、巴拿赫-塔斯基悖论假设的不可测集。2.ZFC公理集合论系统(ZFCaxiomaticsettheorysystem)(1)ZFC公理集合论系统有选择公理的集合论(ZFC),是一个公理系统,用于正式定义集合论。具体来说...

陶哲轩最新采访:AI将颠覆数学界!用Lean规模化,成百上千条定理一次...

有一个名为mathlib的庞大项目,所有本科数学的基本定理,如微积分和拓扑学等,都被一一收录到这个库中。人们已经投入了大量的工作,将公理提升到相当高的水平。我们的梦想是把数学库真正提升到研究生教育的水平。这样,数学的形式化就会容易得多。我们还期待有更好的搜索方法,因为如果你想证明某件事情,你必须能够找...

是什么让他成为现代计算机之父?丨纪念冯·诺伊曼诞辰120周年(下)

拥有遍历定理和度量可传递变换(metricallytransitivetransformations)11存在性的知识是非常好的,但这些事实只是该主题的基础(www.e993.com)2024年11月19日。冯·诺伊曼经常在谈话中表达这样一种感觉,即这一领域未来的进展将取决于这样的定理——将在数学上对该学科后续部分进行令人满意的处理。玻尔兹曼方程需要一个完整的数学理论,而系统趋于平衡时的...

揭秘数学的语言:从定义到公理的逻辑之旅

命题是数学论证中的基本陈述,可以被证明为真或假。它可能不具备定理那样普遍性或深刻意义,但它是逻辑推理的基石,对于构建数学论证过程至关重要。例如,所有连续函数在闭区间上一定是有界的。而引理是在证明更为重要的定理过程中使用的预备性陈述。它通常是为了证明一个定理而特意引入的,有时其本身也可能具有一定的...

波利亚的数学思想:解题是人类的最富有特征的活动

例如,由命题(假设)A可推出B,A真则B真,B假则A假,这是三段论推理。如果由A可推出B,而B真,我们对A能说些什么呢?据“三段论法”我们只能说:“A可真可假”。但在科学思维中,一个命题的推论被证实,对命题为真的可能性肯定是有影响的,这就是“A为真的可能性增加了”,于是有如下的“归纳推理基本模式”:...

王浩︱生物学的形式与直觉

在这种严格的意义上,通常大多数所谓“公理系统”并不是形式系统,而形式系统(在这种意义上)无疑都是公理系统。正是在这个意义上,哥德尔1931年的著名成果才能得到最好的理解,即:没有任何形式系统能够捕捉到我们对正整数的全部直觉。任何试图证明有关正整数的真命题的形式系统都不可能是完备的。对于任何这样的形式系统...

大模型帮陶哲轩解题、证明数学定理:数学真要成为首个借助AI实现...

前提是对证明一个定理有用的现有公理或定义,被用作策略的论据。证明不能使用尚未定义的前提,也不能使用未导入当前文件的前提。通常,前提是来自一个包含数十万个现有定义和定理的大型数学库,这使得人类和机器都很难在生成策略时选择正确的前提。这是定理证明中的一个关键瓶颈,也是研究者希望通过检索增强的LLM来...