从简单的整数到神秘的虚数,这些数的类型你必须搞懂!

他尝试用整数或分数来表达这个结果,可失败了——它无法用两个整数的比来表示,它的小数部分是无限不循环的,比如√2=1.414213562373095...就这样一直延续下去,还永远找不到重复的规律。常见的无理数还包括:π(圆周率)、e(自然对数的底数)、φ(黄金分割比)、√3等。因此,实数包括了所有的有理数和无理...

数学悖论系列之五(无限大的悖论)

相反,一个特定的无限集合(如所有自然数的集合)据说已经存在,通过将“规则”作为一个假设或公理:给定这个无限集合,那么作为一个逻辑结果,其他无限集合也被证明存在。但这仍然是一个自然的哲学问题,去思考一些实际上在无数个离散的步骤后完成的物理行为,再用集合论来解释这些物理行为,自然而然会导致超级任务的悖论——...

对话王小川:除了杀时间、省时间,「加时间」才是 AI 应用的好赛道

但数学上不是这么看的,因为每一个自然数乘以2都能得到一个偶数,所以偶数是不会比自然数少的,用双射法就可以证明。所以今天来讲,约等于医生是AGI的一个子集,大模型所有的能力在医生上都用得到,比如说推理能力、减少幻觉的能力、沟通能力、共情能力、多模态的能力、记忆的能力。这个时候我们认为达到了L4...

有理数和无理数到底哪个多?

这是自然数、整数、有理数和实数的关系。但你可能被这张图误导了。事实上,它们的对比关系是这样的,因为无理数比有理数多得多。有理数是整数与分数的统称,当然包括有限小数及循环小数,因为他们都能化为分数的形式。而无理数则是无限不循环小数,比如圆周率π和自然对数的底e。得出这个结论的是一位驰骋在...

素数的艺术:菲尔兹奖得主梅纳德与没有7的素数世界

类似地,所有其他自然数都可以表示为素数的乘积。早在古希腊时期,数学家们就已经知道这一点,并且还证明了素数的数量是无限的。无论在数轴上前进多远,总会找到新的素数。然而,关于素数的许多问题至今仍未解决。随着在数轴上向前推进,素数似乎变得越来越稀疏,但数学家们仍然无法准确地描述它们在自然数中的分布。这个问...

释放比特自由——Wolfram的“一种新科学”介绍

3.3自然数上面讨论的计算系统都是对一些抽象元素的操作,然而传统数学中的计算则强调的是对数的操作(www.e993.com)2024年11月10日。那么NKS能不能讨论对数的运算呢?下面就是一个例子,我们从数字1开始,然后用最简单的运算+1进行反复的迭代。显然,我们会得到序列1,2,3,……。这很平淡无奇,但是如果我们把这些数字表示成二进制数,那么我们仍然...

席南华:基础数学的一些过去和现状

无限集合的计数理论是德国人康托尔在19世纪后半叶建立的,称为集合论。其中一个核心的概念是等势:两个集合称为等势的如果它们之间能建立一一对应。有意思的一件事情是自然数集合和有理数集合等势,但与实数集合不等势。1874年,康托尔提出有名的连续统假设:实数集合的任何无穷子集要么与实数集合等势,要么与自然...

如何用基础数学证明0.999...=1?无穷带给人类的困惑和深层思考

实际上自然数和偶数一样多,因为自然数和偶数能够做到一一对应,你随便找个自然数,都会有一个偶数与之对应,两者当然一样多了。但是,很多人潜意识里很难接受自然数和偶数一样多的事实,究其原因,就是因为很多时候,我们会下意识地用有限的思维方式去衡量无限的概念。

古怪烧脑的“理发师悖论”竟引发第三次数学危机,后来怎么样了?

此外,数学史上的三次危机以及导致危机的悖论的根源,都与连续和无限有关,都是无限进入人的思维领域中导致思考方法之不同所产生的。第一次是从整数、分数扩展到实数,虽然整数和分数有无限多,但本质上仍然有别于(小数点后数字)无限不循环的无理数。第二次危机中的微积分革命导致对“无限小”本质的探讨,推导总结发...

云计算的第三次浪潮:隐藏在0和1之后的无限价值

0和1,两个最小的自然数,却构成了代码世界无限的可能。1938年,德国工程师康拉德·祖思发明了一台名为Z1的计算机,这也被认为是人类历史上最早的二进制计算机。它能够进行简单的数学运算和逻辑运算,并且可以通过改变配置来完成不同的任务。8年之后,美国的工程师发明了更加先进的计算机,能够完成5000次加法运算,400次...