0.999999...8是一个什么数?有理数还是无理数?

在十进制下,通过逼近法(就是你不断拿两个相同的有限小数相乘来逼近2)可以暴力算出根号二的近似值是1.4142…于是根号二理所当然地被放在了数轴里。这时候,我们会直观地感觉到,分数/整数这类数,和根号二这类非分数/整数的数可统称为实数,前者叫有理数,后者叫无理数。并且可以发现,任意实数都可用十进制小数...

人类数学史上三次危机, 最后一个危机至今都没有解决!

我们现在知道,斜边长是根号2,这个数是无理数。但是古代人们并不知道这些,当他们试着计算根号2的具体数值时,变得抓狂起来。在计算的过程中,古人发现这个数非常长,而且不管他们计算多久,好像都看不到尽头。而根号2也是人们发现的第一个无理数,而无理数的出现,也酿成了第一次数学危机。无理数的出现,彻底击碎了...

π真的是一个无理数吗?

渐渐地,随着我们对数学更深入的学习,我们知道了π和e与根号2一样,是无理数大家庭中的一员。然而我们应该如何严谨地证明π是无理数呢?乍一想,我们似乎从来没有思考过π是无理数这个问题。其实π是一个无理数的证明并没有想象中那样简单,很多的证明都需要用到高等数学的知识。今天我们所尝试的证明,虽然用...

经典证明:几乎所有有理数都是无理数的无理数次方

答案是肯定的,证明方法非常巧妙:考虑根号2的根号2次方。如果这个数是有理数,问题就已经解决了。如果这个数是无理数,那么就有:我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。这是一个典型的非构造性证明的例子:我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数,但却并没有给出一个确凿的例子...

这个数学家因发现“根号2”而献出了宝贵生命,数学史也因此改写

然而，因一次偶然的机会，毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现了一个令人惊讶的事实：边长为1的正方形的“对角线”无法用现有的“有理数”表示。也就是说，正方形的边长与其对角线是“不可公度”的，这条对角线的长必须用一种新的“数”来表示，这个数就是无理数“根号2”。这一发现对于“毕达哥拉斯学派”的打击是...

无理数逼近的最佳方法与杜芬-谢弗猜想

无理数，如sqrt（2）和π，不能被表示为一个整数比的分数(www.e993.com)2024年11月2日。相反，它们的十进制表示永远不会终止，也不会重复。尽管无理数看起来难以捉摸，但它们构成了实数的绝大部分，其中一些解开了数学中最重要的关系。圆的面积取决于π，无理数e的变化速度是研究的核心。但是为了理解和计算这些数字，我们经常需要近似它们。

根号2是无理数,没有尽头,为何边长为1的直角三角形可以画出来?

这并不是悖论。根号2在数学上是无理数不假,无限不循环的小数,在数学上,无法计算出它的最后一位究竟是啥。但是在现实世界的表达上,就不需要这么苛求。根号2≈1.4142135623,这个数字介于1.41-1.42之间,所以,无理数有它触碰不到的天花板,这样,在现实世界的表达上,就可以表达了。

深圳读书月 | 城市数学文化访谈 龟毛兔角子虚乌有 凤毛麟角窄门可求

第一次数学危机是不可公度危机,出现了无理数如根号2,没法用有理数表达,毕达哥拉斯万物可用整数比进行度量的思想受到重创。后来用几何比和新符号数替换了整数比才暂时化解了危机。但其隐患又遗留到了第二次数学危机中,即贝克莱关于无穷小量与0的悖论里,0和无穷小量若完全互异,却同在一个时空,到底是存在还是不...

当数学年纪还小的时候

一直到十九世纪,我们对实数的认识都还是模糊的,片面的。我们将自然数从一个个实实在在的物体抽象成了数,将分数和小数从物体的实际形象中提取出来。而无理数却停留在了现实世界中,pi停留在了圆,孤独的根号二被困在正方形里。直到戴德金(Dedekind)将它们从实体世界中解救出来,供在数学宫殿里,抽象成永恒。

“π”里藏着所有人的银行卡密码和生日?

π不但是无理数,而且是超越数。超越数是代数运算不能操作的数。举例来说,根号2是无理数,但根号2可以用一个代数等式来表达:y=x2-2。而π却不能通过这样的等式表达。超越数无法通过加、减、乘、除、指数和求根运算的代数等式来描述。很久很久以前,追求完美的数学家们非常不待见无理数,甚至还酿成过惨案。《...