数学悖论系列之五(无限大的悖论)|伽利略|连续统|希尔伯特_网易订阅
自然数集、偶数集、整数集、有理数集等均是无穷可数集,那么实数集合是不是可数集呢?康托尔在研究集合时得到的一个重要结论就是:实数集不可数。其实除实数集、无理数集是不可数集(图42)外,实数区间(0,1)、[-1,1]也是不可数的(图46)。图46(3)无穷集合基数的比较通过适当的投影以及推导两个区间之间...
两位数学家证明了p=t,实现了数学上的一个突破,它到底是什么?
S是一个非常大的集合,不仅是无限集,而且比自然数集N大得多得多。我们没有办法把自然数集中的元素与S中的元素一一匹配(一一对应)。我们说N是可数集,而S是不可数集。事实上,S具有连续统的基数(cardinalityofthecontinuum),因为S可以和实数一一对应(连续统的基数是实数集合的基数或“大小”)。自然数基数的符号...
为了研究宇宙中最大的数字是什么,科学家最后进了精神病院
这一连串数字被称为“超穷”数,用来表示无穷集合的势(大小):可数集(包括自然数)的势标记为κ0,下一个较大的势为κ1,再下一个是κ2,依次类推……也就是说,下一个总是比上一个更加无穷,这简直让人发疯,不是吗?康托尔最后不幸地进了精神病院。不过,一个刚开始只能数到4的大脑能走到这个地步已经算是...
长度是怎样炼成的
但是,不存在无穷集合的势比全体正整数的集合的势更小。注:我们待会儿再来讨论为什么起这么两个名字。前面的例子告诉我们,全体正偶数的集合是可数无穷的,全体有理数的集合是可数无穷的,但是全体实数的集合是不可数无穷的。在不可数无穷集合中间,有些集合是和全体实数的集合等势的,这些集合被称为“连续统(continuum...
你见过有无穷多房间的饭店吗?
类似地,如果汽车上的每一位乘客都分配到了希尔伯特大饭店里的一个房间,没有剩余的空房间,那么,乘客的集合是一个与希尔伯特大饭店的间数同样大小的无穷大,都是0。利用这个想法,康托尔证明了实数集严格大于自然数的集合;他绝妙的论证被称为“康托尔对角论证法”(Cantor’sdiagonal)。
为什么倒饮料时液体总是咕嘟咕嘟一股一股的呢?| No.335
这说明有理数集是可数集,和自然数集有着一一对应的关系,即两个集合等势或称为基数相等(www.e993.com)2024年10月21日。康托把无穷大的基数称为超穷数,第一个超穷数就是自然数的基数,用(阿列夫0)表示。接着考虑(0,1)开区间,通过反证法,假设它为可数集,那么里面的元素可以写为考虑数字,其中且(为了避免出现形如0.79999……等...
“无限”与现代数学之父——乔治·康托,数学的本质在于它的自由
让我们先来考虑一下自然数集。自然数有1、2、3、4、5、6……。根据康托的理论,自然数集是可数的(可数集),因此如果我们能将另一个集合与之匹配,那么这个集合也是可数的。在我看来,这种方法是世界上最重要的数学方法之一。首先,让我们试着把自然数集合和偶数自然数集合匹配起来。
相邻素数规律呈现:克拉梅尔猜想获证
自然数的幂集是连续统,幂集的幂集,……按康托尔的思想都是不可数集,皆不可用自然数刻画,数学发展从此关闭了大门。好在相邻素数是可确定的,意味着不可数也是可数的。道可道,非常道;非常道,亦可道。孤立的实无穷是对潜无穷的一次自定义闭合,不是真无穷,算躺平;孤立的潜无穷也是对实无穷的一次自定义开放,不是真...
吉尔布雷斯猜想获证与相邻素数公式有望找到快速算法_澎湃号·政务...
永逸可封闭的定义,如此不可数亦可数,绝对的不可数是不存在的,闭区间套定理成立是有条件的,两个不同的无穷子集仍然是有秘密交集的,否则完全互异的无穷子集定为空集(无素因子构造),否则“闭域套定理”就真成“避孕套定理”了,没有素数种子数哪有扩域的数系,故不可数是一种人为定义的自闭,解放新算法,可数性仍可...
哥德尔—一个真正的思想革命家,揭示人类与机器思维的本质区别
自然数集的幂集是无限的,它们是比自然数集本身更大的一个无限集。自然数集的幂集的幂集比自然数的幂集要大,不断取下去,会得到一个越来越大的幂集(一个更高阶的无穷大)。如果存在一个无限的集合,就有无限多的无限幂集,而且一个比一个大。这导致了各种奇怪的难题。