高斯的绝妙定理:现代微分几何的诞生|曲率|乘积|科学家|数学家|...
1868年,贝尔特拉米利用这个结果解释了双曲几何就是具有常负高斯曲率的鞍形曲面的内蕴几何,这个解释是关键的一步,为双曲几何被普遍接受铺平了道路。黎曼将高斯的内蕴曲率推广到高维流形。1915年,爱因斯坦利用黎曼的这个杰作给出了准确表达广义相对论的数学形式。这个表达极其精准、极其优美,其中,引力被理解为物质和能量...
受高斯“绝妙定理”启发,MIT研制4D神奇新材料,精确变形模拟人脸
换言之,高斯曲率是曲面的内蕴不变量。用现代术语可表述为:高斯曲率在局部等距变换下不变。不过有个问题:平面无法拉伸,收缩或撕裂,如果要想将平板变形为具有不同高斯曲率的复杂形状时会遇到问题。VanRees将这个问题比作“包足球”的挑战。纸的高斯曲率为零,而球的曲率为双。因此,为了用纸包把足球包上,必须在侧...
今天是数学世界日:以黎曼的神文致敬
他把高斯的内蕴几何从欧几里得空间推广到任意n维空间,并称其为流形,再把流形上的点用n元有序数组表示。黎曼还引进子流形和曲率的概念,让他尤其关注的是所谓“常曲率空间”,即每一点上曲率都相等的流形。这种常曲率有三种可能性:曲率为正常数,曲率为负常数,曲率为零。黎曼指出,第二种和第三种分别对应于罗氏几何...
陈省身访谈录:科学上最伟大的发现都不是有计划的
陈:这是二阶微分的概念,在几何上叫做曲率。陈:爱因斯坦方程也是一样,爱因斯坦说我们的世界、宇宙是一个四维空间,四维空间有一个ricci曲率等于stresstenser(应力张量),这是爱因斯坦方程。Ricci曲率是几何,而stresstenser是物理。麦克斯韦方程也是一样。我要把它写下来,也是一样的。一个几何的量等于物理的量。...
人类真正的“可怕”之处或许是,发展出了“超验”的非欧几何
甚至2维流形也各有各的不同的内蕴曲率(即令单独一个2维流形在不同点也有不同的曲率),所以黎曼的定义,在每一个维数上,都引导到无穷多个真正不同的几何学。此外,最好的是这些几何学的定义不需要参考包含它们的欧几里得空间,所以,欧几里得几何学的独断的地位被一劳永逸地打破了。
国家科学技术奖,谁是“创新主力军”?
11月3日上午,2020年度国家科学技术奖励大会在人民大会堂举行(www.e993.com)2024年10月20日。中国航空工业集团有限公司顾诵芬院士和清华大学王大中院士获国家最高科学技术奖。国家科学技术奖励每??评审一次。经网络评审组、学科专业评审组、评审委员会和奖励委员会评审,科技部审核,2020年度国家科学技术奖共评选出264个项目、10名科技专家和1个国际组织...
他写了一本微积分教材,豆瓣评分9.9分 | 展卷新书|复分析|微分|微...
当然,我们讨论的框架是可以应用到任意维流形的。我们利用这种方法引入了著名的黎曼张量,用它来度量n维流形的曲率。我们直观、有几何味地介绍了黎曼张量,在技术上是完整的。第三,我们觉得,黎曼张量在自然科学的竞技场上单枪匹马就能取得光辉、伟大的胜利,在充分讨论了黎曼张量之后,继续隐藏这一点就不好了。所以...
德国最伟大的数学家 —— 高斯,能限制住他的,只有“死亡”了
他那非凡的计算能力起到了关键的作用。他直接探究数本身,用它们做实验,利用归纳法发现了一些深奥的一般定理,这些定理,甚至他也要费一番气力才能证出来。用这种方法,他重新发现了"算术的瑰宝”,“黄金定理”,欧拉也曾用归纳法发现过它,人们把它叫做二次互反律,高斯是第一个证明它的人。
黎曼一篇哲学神文,谁能看懂?& 黎曼,他对素数有着迷人的依恋
他把高斯的内蕴几何从欧几里得空间推广到任意n维空间,并称其为流形,再把流形上的点用n元有序数组表示。黎曼还引进子流形和曲率的概念,让他尤其关注的是所谓“常曲率空间”,即每一点上曲率都相等的流形。这种常曲率有三种可能性:曲率为正常数,曲率为负常数,曲率为零。
纯粹数学的雪崩效应:庞加莱猜想何以造福了精准医疗?
图19.三维人脸曲面被共形地映到二维平面上,所用方法就是里奇曲率流。如图19所示,我们用里奇曲率流方法,将人脸曲面的黎曼度量变成曲率为0的平直度量,将三维人脸曲面平铺到二维平面上面,然后在二维平面区域之间建立光滑双射,从而诱导三维人脸曲面间的双射。当然,这种方法也可以用于三维人脸识别,但是人脸识别对于映射...