数学思维到底是什么?如何训练?顶尖数学大学教授的这篇文章终于说...

这一过程从自然数(1、2、3……)开始,然后是自然数之间的分数,接着我们延伸到原点两侧的正负自然数(整数)和正负分数(有理数),最后扩展到包含有理数和无理数的全体实数。我们还会关注如何自然地进行整数、分数、小数的加减乘除运算,特别是那些将成为不同数系的形式化公理基础的性质。第二部分将介绍适合数学家所...

为什么不能用 0 做除数?|整数|实数|同余|自然数|有理数_网易订阅

1.自然数,整数,有理数的构造1.1.自然数集.由无限性公理,我们可以自然导出以下无穷集合:,我们可以给这个集合中的元素命个名:就这样,我们就有了自然数集.我们用表示.1.2.整数集,可以按照以下等价关系构成商集当且仅当.其中加法为一般意义上的加法.容易验证这是一个等价关系.它在...

有理数和无理数到底哪个多?

我们知道实数是由有理数和无理数组成的,而有理数是可数的(因为它能有序排列,其基数等于自然数),所以无理数必然不可数。数轴上排得密密麻麻(稠密的)的有理数,在无理数面前实在太稀疏了。这一幕仿佛《庄子》庖丁解牛故事里的“以无厚入有间”(来自《庄子??养生主》,原意为:用很薄的(刀刃)插入有空隙...

阿里数学初赛第三题里的稠密子集,数学抽象的背后是朴素 | 二湘空间

一般人不会琢磨有理数点比实数点少的证明这种怪异问题,可有人会,一百多年前有个叫康托的德国人就苦思冥想这个问题。康托图源网络不过康托刚开始思考的问题略有不同,他天天对着自然数、偶数发呆:他要比较自然数和偶数谁多谁少!(故事细节笔者杜撰,但符合历史原貌。)直觉告诉我们,偶数是自然数的一部分,当然偶数...

0.999999...8是一个什么数?有理数还是无理数?

有理数的来龙去脉数学上规定,数轴上点对应的数是实数。或许你觉得这简直像一句废话,其实这句话水很深。我们必须完整地思考数的发展史。首先,我们自然而然地有自然数(当然,自然数要严格定义也水很深,这边就略过,感兴趣的可以搜索“皮亚诺公理”)。

如何用基础数学证明0.999...=1?无穷带给人类的困惑和深层思考

但是,很多人潜意识里很难接受自然数和偶数一样多的事实,究其原因,就是因为很多时候,我们会下意识地用有限的思维方式去衡量无限的概念(www.e993.com)2024年11月17日。再说一个相对高深的例子,实数是由有理数和无理数组成的,有理数和无理数都有无穷多个,你认为有理数和无理数谁多呢?

p进数:展开有理数,何必是实数?

从逻辑上来说,第一个定义的应该是自然数,然后才是,但是这每一步是怎么来的呢?是由皮亚诺公理定义的,也就是从开始,规定每个数都有一个后继数,所以可以使用数学归纳法。随后我们要得到,该怎么办呢?直观来看,定义整数允许了负数的存在。但是负数究竟是什么?比如说,它其实是,也可以是。所以如果要用...

这种无理数中的无理数,让数学家直呼“根本停不下来”

比如整数就是正整数、零加负整数。有理数是能够表示成两个整数之比的数,其中包括整数、有限小数和无限循环小数。如果这个比的小数位永远除不尽且不重复,那它就是无理数。接着有理数和无理数共同构成实数,实数和虚数又组成复数。其中,对于有理数,今天我们一致认为是生活在公元前五世纪左右的希帕索斯发现的(...

世界上最美的数学公式:欧拉等式|实数|自然数|复数|有理数|无理数...

实数人们经过长期的研究,终于发现不仅有可以表示成两个整数的比的有理数,还有不能表示成整数比的无限不循环小数:无理数。人们把有理数和无理数合在一起,称为实数。实数与数轴上的点一一对应。在数轴上,我们不仅能找到整数1、2、3…,还能找到分数2/3,也能找到e、π、√2等无理数。

三次数学危机其实都在解决同一问题:为何公度会屡碰天花板?

“同时”蕴含“不同时”,好理解,有了等差为1的自然数就有了不等差的素数序列,正如两个素数相加都是偶数一样,容易判定为真。由不等差的素数序列如何得到自然数呢?“不同时”蕴含“同时”,这一点不好理解,有了不等差的素数序列就会有等差的自然数吗?正如所有的偶数都可以用两个素数之和表示吗?这不容易判定为真...