Navier–Stokes方程的200年

N-S方程的精确解可分为两大类。第一类,由于流的简单性质,包括非线性项(u·▽)u=0的解。属于这一类的流动有Couetteflow(lubricationtheory由此发展而来)、Poiseuilleflow(均匀横截面管内的流动)、旋转圆柱体之间的流动、Stokes第一和第二问题以及平行表面之间的脉动流动。第二类精确解是非线性对流项不等...

PhySim网格助力获得准确、高效的多物理场解决方案

随着计算机技术的发展,有限元法、有限差分法、有限体积法等数值方法被用于求解这些偏微分方程,其中有限元法的应用最为广泛。有限元法的工作原理是将微分方程转化为等效的积分方程,再利用网格的节点和单元进行插值和积分得到线性或非线性的方程组,求解方程组就可以得到数值解。网格类型、网格密度、网格质量都会影响数值...

席南华:基础数学的一些过去和现状

在线性偏微分方程上,赫曼德的工作可能是最深刻和突出的,他因此获得1962年的菲尔兹奖。从解线性偏微分方程发展起来的D模理论不仅在偏微分方程的研究中十分有用,在表示论的研究也发挥了巨大的作用,柏原正澍建立的黎曼-希尔伯特对应很重要。P.L.利翁斯在非线性方程上的杰出工作使他获得了1994年的菲尔兹奖。

Transformer要变Kansformer?用了几十年的MLP迎来挑战者KAN

很明显,MLP将线性变换和非线性分别处理为W和σ,而KAN则将它们一并处理为Φ。在图0.1(c)和(d)中,研究者展示了三层MLP和三层KAN,以说明它们之间的区别。KAN的准确性在论文中,作者还证明了在各种任务(回归和偏微分方程求解)中,KAN在表示函数方面比MLP更有效。而且他们还表明KAN...

是什么让他成为现代计算机之父?丨纪念冯·诺伊曼诞辰120周年(下)

几年来,冯·诺伊曼一直认为,在许多流体力学问题中——在冲击波的行为和传播方面,以及非线性偏微分方程所描述的现象涉及大位移的情况下(也就是说,线性化不足以接近真实描述),数值工作是必要的,以便为未来的理论提供启发式材料。这种终极的必要性迫使他从基础上研究电子机器的计算问题,并且在1944年和1945年期间,他...

国家自然科学基金委八大学部2024年重点项目资助领域公布

19.非线性偏微分方程(A02、A03)20.应用偏微分方程理论(A02、A03)21.无穷维动力系统与可积系统(A01~A03)22.复杂数据的统计分析(A04)23.大数据统计学基础与方法(A04)24.模型或数据驱动的优化理论与方法(A04)25.大规模问题的优化建模与高效算法(A04)...

从科学计算、计算数学到偏微分方程自适应算法

非线性偏微分方程的奇性解往往反映了自然现象最核心、最复杂的部分。在数值求解中,奇性解的数值模拟也是最困难的。困难之一就是奇性导致数值解强烈地依赖于离散化的方式,或更具体地说强烈地依赖于网格。事实上,对于很多问题,网格的分布已经成为求解问题的一个重要的组成部分,其结果也构成了数值解不可分割的一部分。

爱因斯坦直呼难解的方程,被他在战壕里解出来了

爱因斯坦被这封刚到手的信完全震撼了,其中包含了广义相对论中场方程的第一个精确解,它可以完美地描述有质量物体周围时空的几何或扭曲。爱因斯坦震惊的原因在于,仅仅在他理论发表后的一个月,史瓦西就能够找出这些复杂且高度非线性的偏微分方程的精确解,而他自己作为理论的提出者,也不过只是能给出找到近似解的数学技...

数学方程有什么好解的

和丢番图方程的情况一样,偏微分方程包括非线性偏微分方程中有一些特殊而又重要的类,可以把解准确地写出来。这就给出了一种非常不同的研究风格∶人们又一次关注于解的性质,但是这一次是本性上更加代数化的性质,就是说,解的公式将要起更重要的作用。

上海交大金石和Nana Liu教授关于偏微分方程量子计算的工作受邀...

这样会失去方程解的许多重要的非线性特征。利用水平集的方法,金石和NanaLiu将Hamilton-Jacobi和标量双曲型偏微分方程等非线性偏微分方程精确映射为维数不超过一倍的线性偏微分方程。经典计算方法会随着维度的增加计算量指数级地增加,但量子算法则避免了这样的维数灾难,从而使构造这些非线性问题的量子算法成为可能。