集合论新公理探究的哲学思考

它并不鉴于形而上学的哲学标准(如柏拉图主义)来评判集合论,而是认为集合论就是数学家公布的基本正确的理论。这意味着集合就是集合论描述的那种东西;关于集合的问题,集合论是唯一有关的权威。基于这样的客观主义立场,在认识论上,我们关于集合的知识不可能出错,也不可能存在与我有关的集合完全不同于我对它们的了解,...

算术简史:从骨头上的神秘符号到现代数学的奇迹

他们对整数的性质和关系进行了深入研究,解决了数论中的众多难题,并发现了许多重要的定律和定理。需要特别提出的是数学的形式化和基础工作,这方面的典范包括格奥尔格·康托尔(GeorgCantor)发展的集合论,以及戴德金-皮亚诺公理(Dedekind–Peanoaxioms)。这些工作为数学提供了一个更严格的理论基础,使得数学不仅仅是一...

史上最著名的数学悖论—关于集合论的悖论,引发了深层的数学危机

用符号来表示,设有一个适当定义的性质p,则必存在另一个对象,即集合{x:p(x)}。例如,相应于"是一个实数"这个性质,就有所有实数的集合;相应于“是一个序数"这个性质,就有所有序数的集合,如此等等。这就称为概括原理,它是对于集合的逻辑主义理解的基础,这样理解的集合论称为朴素集合论、虽然其朴素性是后来才...

数学表达式一键变图,CMU开发实用工具Penrose,堪称图解界LaTeX

如下图所示,界面顶部是该工具的基本功能和选项。左侧第一个下拉框:表示用户试图转化的数学公式所属的领域,上图示例显示的是「集合论」(settheory);左侧第二个框:可供用户选择想要生成的图样式,上图选择的是维恩图(venn),用户可以点击该下拉框,选择自己喜欢的样式;右侧「run」按钮:点击该按钮,等待几秒,即...

哥德尔不完备性定理的意义是什么?

哥德尔不完备性定理正是通过分析任何一个自然数和自然数的递归可枚举集合的关系证明的。这个证明究竟在认识论上蕴含着什么呢?现在我们把从公理证明定理的过程与受控实验和受控观察的扩张对应起来,它极为深刻地揭示了科学真实中符号真实和经验真实的关系。公理为真是数学知识的出发点,一组公理对应着一组普遍可重复的...