数学悖论系列之六(选择公理的悖论)
任何一组公理都会产生一个理论,即从这个公理集合中可证明的句子集合。按照ZFC的说法,这个理论描述了集合的性质,包括在ZFC的公理下什么集合可以被构造或者被证明存在。另外,一阶逻辑和ZFC根本不是同一层次的两个东西。一阶逻辑是一个逻辑系统,它包括逻辑公理和演绎规则的集合,而ZFC是根据一阶语言编写的公理的集合。...
伊藤清:数学究竟是一门怎样的学问?
从这一层面去考察数学的性质,其实可以归为对集合的考察。好了,集合论(其实是数学整体)的基本要素就是集合。如果有两个集合,那么A要么是B集合中的元素(A∈B),要么不是。这就是集合的基本性质。光靠这一点还不能构成数学,我们还需要假设其他几条基本性质(公理)。这些公理之间存在矛盾会比较麻烦,所以人们...
小孩子就能做出的结构,却困扰了数学界整整50年
然而折痕上的点,就如同平面上的尖点一样,可以存在多个方向上的切平面。光滑性的条件是必要的,否则纸带的长完全可以小于其宽度——相当于改变了问题的性质。回到之前的思考题:一张正方形手工纸,我们能否在不撕裂纸张的情况下,用它制作出一条莫比乌斯环?答案是,可以。只要把正方形手工纸,如下图折叠出形如手风琴...
高中数学必修四知识点·不等式的解法平面向量立体几何
1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。能够用斜二测法作图。2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念;会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;证明两条直线是异面直线一般用反证法。3.直线与平面①位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。②直线与平面...
> 平面过直线是指直线在平面上吗?
1直线的性质直线由无数个点构成。直线是面的组成成分,并继而组成体。没有端点,向两端无限延长,长度无法度量。直线是轴对称图形。它有无数条对称轴,其中一条是它本身,还有所有与它垂直的直线(有无数条)对称轴。在平面上过不重合的两点有且只有一条直线,即不重合两点确定一条直线。在球面上,过两点可以做无数...
初中数学学习笔记七上04基本平面图形(数学思想、学习技巧归纳)
平面图形4、直线、射线、线段的的区别:二、比较线段的长短1、线段公理:两点之间的所有连线中,线段最短(www.e993.com)2024年9月29日。简述为:两点之间,线段最短。我们把两点之间线段的长度,叫做两点之间的距离。2、线段的中点到两端点的距离相等3、线段的大小与他们的长度大小关系是一致的...
高一数学《空间点、直线、平面的位置关系》知识点总结
(4)平面的基本性质公理1:如果一条直线的两个点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.符号表示为:.注意:如果直线上所有的点都在一个平面内,我们也说这条直线在这个平面内,或者称平面经过这条直线.公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面....
原创《高中数学专题学习—“三有”自悟教学策略的实践研究》读书...
看到《四平面的基本性质》了,对自己有启发。公理四即平行线的传递性不是公理是定理,是可以证明的。先证明一个引理。这个引理的证明只用到三个公理及推论。引理:三个平面相交要么三条交线交于一点,要么三条交线平行,要么三条交线重合即三个平面交于一条直线。这引理在现实中只要我们观察教室墙角就很显然知道。利用...
群论——一门探索对称与代数结构的神奇数学
(1)闭合性:对于任意h1,h2∈H,有h1*h2∈H。(2)单位元:G的单位元(记作e)也在H中。(3)逆元:对于任意h∈H,它在G中的逆元(记作h^(-1))也在H中。简单地说,子群就是一个群的子集,它在相同的群运算下仍然满足群的公理。4.2性质和例子以下是一些子群的重要性质和例子:...
伊藤清:概率论的历史
好了,集合论(其实是数学整体)的基本要素就是集合。如果有两个集合,那么A要么是B集合中的元素(A∈B),要么不是。这就是集合的基本性质。光靠这一点还不能构成数学,我们还需要假设其他几条基本性质(公理)。这些公理之间存在矛盾会比较麻烦,所以人们对此展开了种种探讨,由于专业性太强,我在这里就不介绍相关内容了...