高斯的绝妙定理:现代微分几何的诞生
设曲面S上围绕在点p周围的一片面积为δA,它在上的像是围绕在点n(p)周围的一片球面,面积为.顺理成章地,δA在S的等距变换下是不变的。根据漂亮定理(13.1).也是不变的。因此,立即得到以下绝妙定理:实验。将香蕉的两端向里推,看看香蕉皮在点p处会发生什么变化:曲率半径ρ1缩小了(因...
席南华:基础数学的一些过去和现状|黎曼|代数|数论|群论|拓扑学|...
几何分析是微分几何与微分方程的交叉学科,丘成桐,后来还有哈密顿等人在其中的建立和发展起了突出的作用,是一个有力的工具,也是非常活跃的研究方向。2007年布仁德尔和舍恩用几何分析的方法证明了微分球定理,是流形理论中一个重要结论。球面带来的深刻数学还很多。1956年,米尔诺发现七维球面上有非标准的微分结构。这一发...
数学中的“太极”:切触几何的柔与刚
中的超曲面S={F(x1,…,xn,y1,…,yn,z)=0},那么微分方程的解就对应于S中n维曲面C,使得C的切空间是包含在超平面中。后者便是上的标准切触结构,而这样的曲面C则被称为勒让德子流形。如此,对于一阶微分方程的解,我们便有了如下的几何解释:的解??F(x1,…,xn,y1,…,yn,z)=0中的勒让德子...
最美的公式:你也能懂的麦克斯韦方程组(微分篇)
每一个小块用da表示,那么通过每一个小块面积的电通量就可以写成E·da。套上一个积分符号就表示把所有小块的电通量累加起来,这样就得到了通过整个闭合曲面S的电通量),右边那个带了enc下标的Q就表示闭合曲面包含的电荷量,ε0是个常数。
球面最优传输映射的C+实现
球面最优传输映射的C+实现曲面的微分几何理论断言给定曲面的第一基本形式(黎曼度量)和第二基本形式,曲面在三维欧氏空间中的嵌入就被确定(相差一个刚体变换)。对于封闭的凸曲面而言,黎曼度量就可以确定曲面的形状。但是如何由黎曼度量来计算凸曲面形状,一直以来没有成熟的算法。为此,我们安排了一次作业,实现从高斯曲率...
用了400年的地图居然是错的!
数学上有一个很强的结论:如果一个微分同胚既是保形变换,又是保面积变换,那么则此变换一定是等距的(也就是保度量的)(www.e993.com)2024年10月20日。也就是说,地球仪上的南极洲投影到平面上,不可能既保持它的形状,同时保持它的面积(鱼与熊掌不能兼得)。??这是因为球面的度量与平面的度量之间不存在等距映射,这两者的度量是不同的。
第五届“6·18”国外电子信息产业项目成果
每在硅钢薄板生产中投入一美元,通过设备生产(“芯片”、微处理器、综合配置和矩阵设备)就能为厂家至少带来18-20美元,如果进一步生产各种电子设备(计算机、电视机、电话、控制部件、传感器、二极管和半导体闸流管等)的仪器结构,这个数额还可能增加到至少100美元。有必要指出的是,如果没有设备市场和半导体设备的基础半导体...
从零推导出理想气体定律,一项浩大的工程,涉及数理化三个领域
我们可以把一个n维球面表示为半径的平方和。任何n维物体的体积都与它的半径的n次方成正比。表面积是体积相对于半径的导数。这个比例关系很有用。你需要用长度来表示n维体积,体积应该随着半径的增加而增加。表面积和体积之间的关系也是有用的。想象一下,在一个球体上涂上数千层颜料。每一层都能在保持球的球形...