数学中最大的谜团—素数分布,从狄利克雷定理到广义黎曼假设
如果q是一个合数,则有一个称为勒让德-雅可比符号的函数,作为勒让德符号的推广,也是一个特征。这也是一个重要的例子,它以一个不太直接的方式帮助我们识别出modq的平方数。这些特征都是实值的,但是这只是特例而非通则。下面是q=5时一个真正复值的特征的例子。令如果n≡0(mod5),等于i如果n≡2(mod5...
我研究数论二十三年的成果总结
比如,勒让德猜想、孪生素数猜想、费马大定理猜想和哥德巴赫猜想等等。二、问题的提出数论的核心是“研究素数在自然数里的分布规律”,世界众多的一流数学家们,有些用毕生的精力都在寻找不存在的“素数公式”,直到现在也没有人能够找见它。其中许多有关“素数公式”的猜想,本身就是等差数列(级数)。用等差数列...
被誉为“生金蛋的母鸡”的近代数学三大难题,都被解决了吗?
瑞士数学家欧拉,用无穷递降法巧妙地证明了当n=3,n=4时费马猜想成立。但之后问题又沉寂了近半个世纪。1822年,法国数学家勒让德重新吹响了进军号,并证得了n=5时费马猜想成立。过了若干年,他的同胞勒贝格又证得了n=7时费马猜想也成立。1831年,一位才华绝代的法国妇女索菲娅,靠独有的聪明才智,在假定x、y、z...
数学中的“太极”:切触几何的柔与刚
很明显,切触变换会把勒让德子流形映到一个勒让德子流形,从而把一个微分方程的解映到另一个微分方程的解。一个切触流形,也就是把上面的(,ξstd)中开集,通过切触变换的方法给粘连起来的流形。等价地说,一个切触流形,就是一个奇数维的流形,并且在每一点处的切空间中都光滑地选取一个余一维的子空间,使得...
数理史上的绝妙证明:费马大定理 | 贤说八道
关于n=5,成功证明的数学家包括欧拉、勒让德、勒贝格、狄里希利等人。勒贝格关于n=5和n=7的证明见于论文Théorèmesnouveauxsurl'équationindéterminéex5+y5=az5(关于不定方程x5+y5=az5的新定理),JournaldeMathématiquesPuresetAppliquées8,49–70(1843)和Démonstrationde...
陶哲轩:计算机辅助数学证明的历史
形式化的过程同时伴随着一个人类可读的证明“蓝图”创建(www.e993.com)2024年10月10日。这个"蓝图"以一种交互式的方式合成了正式和非正式的证明,这让舒尔茨和其他人能够更深入地理解这个证明。图注:利用Lean证明拓扑定理。陶哲轩设想,未来的拓扑学教科书可能会使用这种交互式的步骤来解释证明,使学习过程更为清晰和简单。
费马大定理:一部延续358年荡气回肠的惊险悲怆爱情剧
等到索非·热尔曼、勒让德、狄利克雷、加布里尔·拉梅等几个法国人再次取得突破时,距离费马写下那个定理已经过去了将近200年,而他们才仅仅又证明了5次幂和7次幂。事实上拉梅已经宣布他差不多就要证明费马大定理了,另一位数学家柯西也紧随其后说,要发表一个完整的证明。然而,一封来信粉碎了他们的信心:德国数学家...
初中就学了的“勾股定理”,决定了数学这些领域的发展.
费马的这个牛皮真是吹大了,这个看似简单的数论题目,难倒了几个世纪的顶级数学家——其中包括欧拉、勒让德、高斯、狄利克雷等。在猜想提出300年后的1995年,才被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明,这个证明过程包括两篇文章,共130页。尽管费马大定理被证明是20世纪的事,但在300年间为了研究它而付出的努力、和得出的...
159年没被解决的黎曼猜想“被证明”了?它究竟说了啥?
在黎曼的时代,质数定理虽然经由高斯(Gauss)和勒让德(Legendre)提出,但却是未经证实的猜想。它让最捉摸不定的质数在阳光下现出了踪迹。当时最杰出的数学大师也为此倾心,试图证明质数定理。解决质数定理在黎曼提出的第一个命题里,数学家很容易证明Zeta函数的零点位于实部不小于0,不大于1的带状区域上,但是无法排除实...
陶哲轩6000字详述:计算机辅助数学证明的历史
尽管勒让德的素数分布猜想在精确性上存在一些问题,但它的影响力仍然非常大。后来,这个猜想被狄利克雷修正为一个更准确的形式,这个形式现在已经被广泛接受并被纳入教科书。图注:狄利克雷修正后的公式计算机加持下的数值计算现在已经成为解析数论中的常规工具,被用来帮助形成和验证猜想。伯奇和斯温内顿-戴尔猜想就是一...