数学悖论系列之六(选择公理的悖论)
他指出:一个包含逻辑和初等数论的形式系统,如果是协调的,则是不完全的,亦即无矛盾性不可能在本系统内确立;如果初等算术系统是协调的,则协调性在算术系统内是不可能证明的。哥德尔不完备性定理无可辩驳地揭示了形式主义系统的局限性,他证明了,任何一组可以作为数学可能基础的公理都不可避免地是不完备的;总会有关于...
《从数学到哲学》:近代著名数理逻辑学家王浩哲学代表作,一场从...
首都师范大学政法学院哲学系教授叶峰认为,王浩无疑是在国际哲学与逻辑学界最知名、最有成就的华裔学者,“他在数理逻辑、数学基础的技术领域有许多开创性的贡献,同时他也在哲学方面对分析哲学提出了深刻的批评。他的这部著作,一边深入浅出地介绍数理逻辑与数学基础的基本概念与成果,一边借此阐述他自己的哲学思想。因...
无论活在哪里,最终都活在体验里
很多宗教信徒不太愿意讲哲学,他们会逃避思考,因为讲着讲着会伤害他对这个宗教的基本信念,以至于让他的整个生活逻辑崩溃。宗教哲学,有点像迷信科学,自相矛盾。笛卡尔说,在人类的知识之树中,生物学、化学等应用科学是树枝,物理学是树干,树根则是形而上学。形而上学在最底层,涉及到我们对生命的交代。所有的顶级企...
有些数学命题是无法用数学方法证明的
即使在数学领域,哥德尔也和他的成果一样,总是被视作与主流有些格格不入。他数十年如一日地为数理逻辑提供核心思想,这位“自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家”[约翰·冯·诺伊曼(JohnvonNeumann)这样称呼他]甚至在变得越来越孤立的时候,还在专注于用逻辑将神学形式化,他开始相信莱布尼茨在17世纪的发现被压制了。...
莱布尼茨三百年数学手稿:微积分之外,更有超越时代的伟大思想
他把组合学的结果称为“不证自明”,大概是因为他认为这些结果可以用算术等方法直接验证。他认为只有“几何”数学或连续数学才需要微积分。在描述曲线的性质时,莱布尼茨提出了类似连续函数的东西,但他似乎从未将函数的概念应用于离散数学中。如若他这么做了,那么结果就有可能会引导他去思考用通用元素构建函数。
数学、逻辑、AI、智能与世界
数学的不同分支如逻辑学、集合论和证明论直接研究逻辑的结构和原理,这些分支不仅帮助确立数学的基础,也深化了我们对逻辑推理的理解(www.e993.com)2024年10月22日。数学不仅仅是逻辑的简化,它也能够应用逻辑来解决现实中的复杂问题,通过建立模型、推导结论和验证解决方案,数学在科学、工程、经济等领域发挥着关键作用。
罗素:数学与形而上学家
通常,在任何一个数学分支(比如几何学)中,我们都是从一定数量的原始概念及一定数量的原始命题或公理开始的;原始概念被假定是不可定义的,而原始命题或公理被假定是不可证明的。现在,实际情况是,尽管在应用数学的每一个分支中都有一些不可定义和不可证明的东西,但在纯数学中,除了属于普通逻辑的那些以外,是不存在...
赫尔曼·外尔老师的数学研究风格
哥德尔在其论文“罗素的数理逻辑学”中指出,“集合(class)和概念(concept)是两个完全独立的实在,它与我们所说的定理或构成不同。假定类似的实在与物理学假定物体的存在一样合理。想要得到满意的物理,物体是必要条件。同样,想要得到满意的数学,实在也是必要条件”。而且,他还在“何谓康托尔的连续统假设”一文中提到...
无心插柳:苏联数学家柯尔莫哥洛夫与神经网络的新生
神经网络复兴的数学保障是通用逼近定理(universalapproximationtheorem),其源头就是柯尔莫哥洛夫-阿诺德叠加。就像柯尔莫哥洛夫的很多工作,都是他先开头指明方向,并且给出证明的思路或者证明的速写版,然后由学生们精化为完美的素描。柯尔莫哥洛夫的另一重要工作KAM理论,也是和阿诺德合作完成的。阿诺德和以色列逻辑学家...