有些数学命题是无法用数学方法证明的

因为哥德尔的原始论述是非常冗长的,当转换成数学形式时,看起来犹如天文数字一般。而多年来提出的仅有的几种替代方案,从实践来看也几乎是无关紧要的。但我自己的计算机实验表明,事实上,不可判定性近在咫尺。实际上,我怀疑当今数学中相当多著名的未解问题,在通常的公理范围内都是不可判定的。不可判定性之所以没...

清华校友用AI破解162个高数定理,智能体LeanAgent攻克困扰陶哲轩...

这愈加凸显了,LLM在形式化数学证明中准确性、可靠性方面的重要性。先前的一系列研究,探索了LLM也能够生成完整的证明步骤。比如,LeanDojo便是基于开源大模型构建的定理证明器。研究人员通过在特定数据集上,训练微调大模型而来。项目地址:httpsleandojo/然而,形式化定理证明数据非常稀缺,进而阻碍了这一方...

AI 颠覆数学研究!陶哲轩借 AI 破解数学猜想,形式化成功惊呆数学圈

它可以提供形式化进度的大致快照。截至当时,依赖图的样子如下:在依赖图的图例中,不同的气泡(表示引理)和矩形(表示定义)被赋予了不同的颜色。简单来说,绿色的气泡或矩形表示那些已经被完全形式化的引理或定义,而蓝色的则指那些已准备好进行形式化的引理或定义(这意味着它们的陈述已经形式化,但证明还没有,同时所...

波利亚的数学思想:解题是人类的最富有特征的活动

这种编排充分显示了归纳、类比、推广这些思维方法在发现数学真理过程中的作用,并引导读者自己独立地进行探索,去掌握数学思维的一般规律。04关于数学教学的真知灼见根据对数学发展和数学一般教育价值的看法,根据多年的数学教学经验和所搜集的第一手资料,根据对数学教学方法的历史和现状的分析研究,波利亚提出了他对于数...

...代数|二战|公理化|数学家|希尔伯特|国防部门|物理学家|约翰...

这似乎表明,也许他的主要愿望和最强烈的动机之一是,重建数学在理论物理学概念层面(conceptuallevel)的作用。自第一次世界大战结束以来,抽象数学研究和理论物理主流思想的分离是不可否认的。冯·诺伊曼经常表示担心,数学可能无法跟上物理学中呈指数增长的问题和思想。记得在一次谈话中,我提出了担忧:可能会出现某种...

AI即将打败人类奥数冠军,凭什么?

用这些符号,就可以像用字母拼写单词一样地去“拼写”出有意义的命题公式,即:“合式公式”(www.e993.com)2024年11月17日。在指定了相应的命题作为公理之后,数学中逻辑推理的过程就可以用符号推演代替语言,形式地表达为符号串构成的“单词”间的对比。由此,数学推理的过程就完全变成了“形式化”的符号操作了。

小学容易中学超前 难易摇摆中的数学教育

小学数学陷入操作化和直观化的形式中“我总在强调,小学数学一定不能太过于操作化、直观化,要让学生学会思考、回想问题。”北京教育学院初等教育学院院长刘加霞说。曾经,中国的中小学数学教育以难著称。很多人可能还能记起那个经典的例子:当问一个美国成年人7×8等于几时,他们会非常尴尬地回答:“我去找一下计算器...

数学在自然科学中不可思议的有效性

另外,初等数学概念,尤其是初等几何的概念,它们用来描述直接由现实世界提示的实体,这无可置疑是真实的;与此相反更加高级的概念,特别是那些在物理学中有重大作用的概念,表面看来似乎无真实性可言。你看,针对一对对(整)数制定的运算规则显然已被指定用来计算我们刚刚学到的分数,并期望能给出同样(正确)的结果,而不去...

欧拉和黎曼在数学界的地位谁更高一些?_魏尔斯特拉斯

1.代数拓扑(Weilstrasse,数学史上最重要的数学构造之一,看到了未来物理学的根本创造)2.奇异化定理(连接数学和物理的重要桥梁)3.混沌理论4.自卫功能5.动力系统(创始人)庞加莱的亮点:1、史上数理综合成就最接近牛顿的数学家!物理学史上最伟大的数学家!虽然在物理上无法与牛顿相提并论,但狭义相对论仅次...

2017浙江教师招聘数学备考:函数概念与基本初等函数的教材分析

本章涉及的数学思想方法可以分为两个层次:一是一般科学方法,如观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等;二是数学中常用的数学思想方法,如函数、数形结合、符号化与形式化、分类讨论、化归等思想方法。围绕教育目标和数学思想方法,本章有针对性地进行如下设计:...