数学悖论系列之六(选择公理的悖论)
如果假设选择公理为真,则可以证明并非所有欧氏空间的子集都是勒贝格可测的,这样的集合的例子包括维塔利集合,以及豪斯多夫悖论、巴拿赫-塔斯基悖论假设的不可测集。2.ZFC公理集合论系统(ZFCaxiomaticsettheorysystem)(1)ZFC公理集合论系统有选择公理的集合论(ZFC),是一个公理系统,用于正式定义集合论。具体来说...
这篇文章终于把罗素悖论讲清楚了
在这本书中,弗雷格也是以罗素导出悖论时同样朴素而随意的方式利用集合进行研究的。罗素把他的例子给弗雷格看,弗雷格立即意识到这把他的事业判处了死刑。在他的《算术的基本法则》的第二卷里,弗雷格不得不面对每一位学者的最大梦魇:他的著作在最后的关头被宣判有错,因为这本书在罗素的信到来时已经准备出版...
古怪烧脑的“理发师悖论”竟引发第三次数学危机,后来怎么样了?
罗素悖论稍微延缓了数学大厦的建设,却并未打碎许多数学家心中的梦。他们仍然坚信并热衷于在某些公理的基础上推导出宇宙间所有的定理,企图建立一个美丽牢固的数学大厦。然而,没料到突然杀出了一位哥德尔,大神出场直接宣布了一个“哥德尔不完全性定理”:判定数学大厦根本无法建立,那只是数学家们不切实际的梦想。那么,哥...
盘点人类数学史上出现的三次危机,最后一个危机至今也没有解决!
而第三次数学危机,看上去和数学没有太大的关系,因为这次数学危机被称为“集合论悖论”,最典型的例子就是“罗素悖论”。何为“罗素悖论”?简单讲,有一个非常厉害的理发师宣称“能给所有不能给自己理发的人理发”。那么问题就出现了:这么牛逼的理发师能给他自己理发吗?结果你会发现,无论能或不能,都会出现...
盘点人类数学史上的三次危机,第三次危机至今仍没有解决!
第三次数学危机的焦点是集合论的局限性,尤其是罗素悖论的提出,这一悖论深刻挑战了数学基础的稳固性。1897年,福尔蒂首先发现了集合论中的悖论,紧接着康托也发现了类似的悖论,但真正将这一问题推向高潮的是罗素在1901年提出的悖论。罗素悖论通过一个简单的例子揭示了集合论中的矛盾。设想一个理发师宣称自己只给那些...
奎因哲学词条:悖论
如果我们把事物取为类,而把关系取为一个类与其元素的关系,那么将会得到(1)的一个更严肃的例子:没有类以而且只以(不以自己为其元素的)类为其元素(www.e993.com)2024年10月20日。这就是罗素悖论(1901),它像平地一声惊雷,粉碎了素朴集合论。罗素悖论的主题可以用一行七音步的诗来表达:...
罗素悖论与金融炼金术
以上这些问题都是罗素悖论的表现形式。简单来说,在对结果的观察中同时包含了观察者自身的行为,就会出现悖论。也就是说,理性无法回答关于自身的问题。在经济学的研究过程中,观察结果与观察者自身行为掺杂在一起的情况无法避免,这就是索罗斯在《金融炼金术》一书中反复向我们介绍的反身性理论。他从一家股份公司的股...
吴军博士:你们都问我“怎样培养孩子的数学思维?” 答案在这里……
第30课罗素悖论问题越平常的东西反而越难以被准确定义思考:什么情况下两个集合相等?第31课哥德尔不完全性定理数学不是万能的思考:世界上存在一套可以解释所有问题的理论吗?第32课希尔伯特第十问题先确定能不能做,再决定要不要做思考:世界上所有问题都是有答案的吗?
佛学真的矛盾吗?
19世纪末出现了许多类似的难题,令当时试图将数学作为一个整体建立在坚实基础上的学者感到沮丧。正是这些努力的领导者,伯特兰·罗素,在1901年发现了最著名的这种悖论(因此得名,罗素悖论)。事情是这样的:有些集合是自身的元素;例如,所有集合的集合是一个集合,因此它属于它自身。但有些集合并不属于它们自身。例如,猫...
五问诺贝尔奖存在的问题,拒领诺奖的大咖都有谁?
罗素悖论通俗描述为:在某个城市中,有一位名誉满城的理发师说:“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮?罗素悖论的提出引发了数学史上的第三次数学危机,数学家辛辛苦苦建立的数学大厦,最后发现基础居然存在缺陷,数学家们纷纷提出自己的解决方案。直到...