数学悖论系列之六(选择公理的悖论)

如果假设选择公理为真,则可以证明并非所有欧氏空间的子集都是勒贝格可测的,这样的集合的例子包括维塔利集合,以及豪斯多夫悖论、巴拿赫-塔斯基悖论假设的不可测集。2.ZFC公理集合论系统(ZFCaxiomaticsettheorysystem)(1)ZFC公理集合论系统有选择公理的集合论(ZFC),是一个公理系统,用于正式定义集合论。具体来说...

袁亚湘院士:孩子对数学提不起兴趣怎么办?

举个例子,我在科学院招研究生,北大的后1/3、后25%肯定不要,但中国科大的前1/3肯定要,复旦大学的前1/3肯定要。人的一生真的是长跑,哪怕没上那么好的大学,只要在大学里好好学习,条条道路通罗马。我们数学研究院领导,中国数学会理事长席南华院士是怀化师专毕业的,他研究生考到了华东师范大学,最后到科学院,...

袁亚湘院士:孩子对数学提不起兴趣怎么办? | 数学漫谈·圆桌

举个例子,我在科学院招研究生,北大的后1/3、后25%肯定不要,但中国科大的前1/3肯定要,复旦大学的前1/3肯定要。人的一生真的是长跑,哪怕没上那么好的大学,只要在大学里好好学习,条条道路通罗马。我们数学研究院领导,中国数学会理事长席南华院士是怀化师专毕业的,他研究生考到了华东师范大学,最后到科学院,...

塔斯基不可定义定理

无论如何,塔斯基不可定义定理并未禁止以较强的理论去定义较弱的理论中的真理。例如,透过二阶算术可定义一阶算术基于N为真;而透过一阶策梅洛-弗兰克尔集合论(ZFC)可定义二阶算术(直到n阶算术)的真式子。雷蒙·史慕扬(RaymondSmullyan)强烈建议人们将目光从哥德尔不完备定理转移到塔斯基不可定义定理上,因为后者主...

人类真会被反杀吗?——赛博朋克悖论的真相

这在命题逻辑和谓词逻辑中是不难实现的,但是当语言丰富到包括极小算术的时候,塔斯基定理告诉我们,在这样的系统中,“真”概念不是算术可定义的,在这样足够丰富的语言中定义该语言的真谓词将导致悖论。这就给人工智能的“理解”戴上了一道紧箍咒:在简单的形式语言中,人工智能可以“理解”最基本的语义“真”,但是到...

1本抵26本的超级词典 ——巴拿赫塔斯基悖论(上)

这听上去非常不可思议,但是在数学中,一旦涉及到“无穷”,很多不可思议的事情就会发生(www.e993.com)2024年11月7日。而且这个过程实际上是用数学推理严格证明的,所以,它应该被叫做“巴拿赫塔斯基定理”。只是它的结论非常反直觉,人们才给它冠以“悖论”的称号。但“巴拿赫塔斯基悖论”的所涉及的内容有些抽象,不便理解,本文中,我先说两个与这个...

张卜天新译著《现代数学的概念》(世界科普译丛)

在证明某种不可能的东西时也需要特别注意逻辑。用一种方法不可能完成的任务用另一种方法也许可以轻松完成,因此需要非常仔细的说明。人们已经证明,一般的五次方程没有根式解,[3]角不能用尺规三等分。这些都是非常重要的定理,因为它们意味着某些途径是不可能的。但要想确定这些途径确实是不可能的,我们必须非常谨慎地对...

数学史上10个备受质疑的伟大时刻,却开辟了数学发展新的方向

塔斯基不可定义定理塔斯基受到了哥德尔的启发,于1936年证明了我们无法在算术系统中定义何谓“算术的真理”。尽管塔斯基的发现也包含在哥德尔的成果之中,但可以说塔斯基所做的有更深远的哲学影响力。他成功得出了这样一个通用的结论,即:世上没有任何直译语言足以表达出它本身的语义。这个定理可被推广成适用于任何足够...

海云专栏 | 深度学习的局限

这不就能让所有的推理都保持正确了吗？很遗憾，这是不可能的。塔斯基不可定义定理（Tarski'sundefinabilitytheorem）证明了形式化系统不能定义自身，而任何一个系统都存在于世界之中，自身也是世界的一部分，想象一下Google可以找到互联网上各种的信息，唯独找不到关于Google自己的任何信息，能说Google索引了整个互联...