最高阶的无穷大,竟然是它——你能画出的曲线数

1一阶无穷大,所有整数的数量整数很多,可以到无穷。1、2、3……这理解起来没有问题。2比整数数目更高阶的无穷大——是一条线、一个平面、一个立方体中的点。要理解这个,我们要回一一对应。集合论的创始人康托尔,比对无穷时用的也是这个方法。康托尔把两个无穷的数进行比较。比如,奇数和偶数。

考研离散数学都学什么

1.集合与函数集合是离散数学的基础概念之一。在这一部分,我们需要了解以下几个关键点:集合的定义:集合是一些特定对象的无序集,通常用大写字母表示。子集与交并:要掌握子集、交集、并集等基本运算及其性质。函数的概念:理解函数的定义、映射关系以及单射、满射和双射的区别。2.逻辑与证明逻辑是离散数学中...

挑战高斯都不敢面对的问题

然后他将贯穿起来的数再用正整数进行编号,那么正整数就可以与所有有理数一一对应,这也就证明了有理数的基数也是????0(阿列夫零)。康托尔就是运用现代集合论的强大武器,在无穷的世界里披荆斩棘,驯服了两千年来让无数数学家避之不及的怪兽,找到了营造数学大厦的可靠基石。1900年,庞加莱在第二次国际数学大...

数学悖论系列之五(无限大的悖论)

自然数集、偶数集、整数集、有理数集等均是无穷可数集,那么实数集合是不是可数集呢?康托尔在研究集合时得到的一个重要结论就是:实数集不可数。其实除实数集、无理数集是不可数集(图42)外,实数区间(0,1)、[-1,1]也是不可数的(图46)。图46(3)无穷集合基数的比较通过适当的投影以及推导两个区间之间...

席南华:基础数学的一些过去和现状

一般的解很容易给出:X=a2-b2,Y=2ab,Z=a2+b2,其中a,b是任意整数。高次的情形就是方程xn+yn=zn,其中n是大于2的整数。1637年,费马在一本书内的边页写道,他有一个此方程无非平凡整数解的证明,但太长,边页空白处写不下。人们怎么也没找出费马说的那个证明,一般认为费马在书中注记说的证明可能有问题,...

“氢弹之父”乌拉姆:我的朋友冯·诺伊曼

而该证明没有用到选择公理(www.e993.com)2024年11月9日。在同年发表在《数学基础》(FundamentaMathematicae)上的一篇论文[14]14中,他给出将区间分解为可数个不相交且同余的子集的方法(译者注:实数集的两个子集是同余的当且仅当其中一个子集通过平移和对称操作可得到另一个子集)。该方法解决了斯坦豪斯(HugoSteinhaus)的一个问题——需要一...

俄罗斯最伟大的数学家—康托尔,现代数学的奠基人,重新思考无穷

所有有理数的集合??,定义为两个整数的商所有实数的集合??,用于测量连续变量为了表示这些集合的基数,康托尔开始使用希伯来字母Aleph(??)。自然数是一个无限集,但是可数的,意味着可以从0开始,无限次加1,就构成了完整的集合。它们的基数如下:根据康托尔,这个数字是超限的(transfinite),因为它大于任何有限的...

这个曾只有一个人能看懂的ABC猜想证明,或终将发表

质数就是那些不能被分解为更小整数的整数,而每个正整数都能唯一地表达为质数的乘积:例如,15=3×5;84=2×2×3×7。从原则上说,a和b的质因子与它们的和c的质因子毫无瓜葛。但ABC猜想将它们联系在了一起。粗略地说,这个猜想认为,如果a和b能分解为许多小的质数,那么c就只能分解为寥寥可数...

这种无理数中的无理数,让数学家直呼“根本停不下来”

就在e被证明是超越数后不久,又一位数学家证明了无穷大的数其实有不同的大小,但有理数的无穷大与整数的无穷大相同。这样的集合被称为“可数无穷的(countablyinfinite)”。然而,实数和无理数的集合更大,是不可数的无穷大;与此同时,虽然代数数集包含所有有理数和无穷多个无理数,但它仍然是无穷大较小、可数...

一个困扰数学家30多年的分类问题,终于被解决了!

如果你按顺序数这些自然数,它们可以完整地排列,(虽然你要花无穷的时间)。自然数集合中的元素,或者它的“基数”,被标记为“aleph-zero”。数学家把任何与自然数无穷集大小相同的集合都称为“可数”集合。相反,实数(包括自然数、有理数和无理数)虽然也是无穷的,但它们却被归类为“不可数”。主要原因是实数太多...