纠缠中的宇宙:量子、黑洞、虫洞
先举个例子,一个球体是3维的,它的表面边界就是2维的球面,比球体少了一个维度。同样我们可以推测出存在一个4维的球体,而它的表面边界是一个3维的球面,同样球面比球体少了一个维度。球面上的时空也就是我们所在的时空。量子力学是不能与引力相容的,但物理学家发现4维球体中的引力可以很好地与量子力学融合,并且...
布洛赫电子的拓扑与几何
。这个状态的相位由含时薛定谔方程确定。除了由能量的时间积分给出的动力学相位,还有一部分可以写为参数空间一个线积分的几何相位。贝里注意到,如果系统在参数空间的演化是一个回路,这个几何相位还具有规范不变性,也就是不依赖于瞬时本征态的相位如何选取,只要在参数空间里保持单值即可。由于他的深刻见解,我们...
数学中的“太极”:切触几何的柔与刚
那么如果z=z(x)是微分方程的一个解,则(x,z'(x),z(x))会是曲面S上的一条曲线,并且该曲线的切线投影到(x,z)平面时具有斜率y=z'(x)。也就是说,该曲线经过(x0,y0,z0)的切线需要包含在平面(z-z0)-y0(x-x0)=0中,即dz-y0dx=0这个切平面中。dz-ydx=0这个方程就给中的每一个点p赋...
湿过水的纸为啥这么容易撕破?| No.384
答:从数学的角度上说,要寻找放置在平面上的光滑均匀球体与平面的交点其实是一个求解方程的问题。所以我们不妨给出三维球面的一般方程和与其相交平面的方程进行求解。不失一般性,假设球面方程为,并且有平面方程。这可以看作描述放在平面上半径为的球体的数学模型。为了找出接触面积大小,我们需要将这两个方程...
如何从质量的物理定义导出相对论质能方程?
我们以R=Ct中R的长度r为半径作高斯球面s=4πr内接球体体积为4πr/3包围质点o。o点周围的引力场A表示o点周围在体积4πr/3内有n条几何点的位移矢量R=Ct,A=kgnR/(4πr/3)(1)k为比例常数。g为万有引力常数。而质点o的质量m就表示在高斯球面s=4πr内接球体体积为4πr/3内,包含几何...
利用库仑定律推导出高斯定律,电与磁之间相互作用的基本方程
这基本上意味着某个函数的散度的体积积分与该函数沿一组法向量n的表面积分相同,这些法向量总是垂直于表面元素dS(www.e993.com)2024年9月8日。现在假设我们选择一个半径为R的球体,那么就会发现,表面的单位法向量总是从球体的径向向外指向,这样就可以写出:另外|r-r'|=R。现在,球面坐标中的表面积元素为:...
推导球坐标系的体积微元 《张朝阳的物理课》验证均匀球体的引力可...
同时也给φ做一个微小的变化dφ,就会在半径为r的球面上,划出一个边长分别为rdθ与rsinθdφ的小面积元,其面积大小为r^2sinθdθdφ,若对r再做个微小的变化dr,则会形成一个以前述面积元为底、高度为dr的体积微元,其体积大小是r^2sinθdθdφdr,这就是球坐标区间θ~θ+dθ、φ~φ+dφ、r~r+...
宇宙在膨胀,人们是怎么发现的?
例如最早解出来的爱因斯坦场方程精确解史瓦西(KarlSchwarzschild)度规,描述一个静态、球对称的物质分布在其外部造成的时空弯曲;Kerr度规、Reissner-Nordstrm度规和Kerr-Newman度规分别描述了匀速转动球体、静态荷电球和匀速转动荷电球外部的引力场分布,这四种度规也分别对应着四种黑洞[1]。而要描述我们的宇宙,则需要...
学物理也要用到基础数学 《张朝阳的物理课》推导球坐标系体积元
同时也给φ做一个微小的变化dφ,就会在半径为r的球面上,划出一个边长分别为rdθ与rsinθdφ的小面积元,其面积大小为r^2sinθdθdφ,若对r再做个微小的变化dr,则会形成一个以前述面积元为底、高度为dr的体积微元,其体积大小是r^2sinθdθdφdr,这就是球坐标区间θ~θ+dθ、φ~φ+dφ、r~r+...
为什么几何学这么难?如何从群论的角度看几何学?
至此,我们一直是在逐步放松对于两个图形为等价的要求,允许越来越多的变换。现在我们要再次收紧,考虑球面几何学。现在的宇宙不再是R^n而是n维球面S^n,即半径为1的(n+1)维球体的表面,或者用代数方法来表示,即R^(n+1)中适合方程的点(x_1,x_2,…,x_n+1)的集合。正如3维球体的表面是2...