理解物理学最重要的数学公式—泰勒公式,在数学中看到物理的本质
因此,当代入x=0,得到如此反复,对于求和中的x的n次幂项,需要取n次导数,每次导数都带下一个幂——首先是n,然后是n-1、n-2,以此类推,一直到3、2、1。所以第n个系数是我们已经将函数f写为x的幂的和,当x非常小时,每个x的更高次幂比之前的还要小得多,所以仅通过保留级数中的前几项就已经得到了一个...
数学的极限之解析延拓,寻找数学世界中的奇点,窥视数学的本质
定义域延拓:如果一个函数在其原始定义域内是解析的,并且能在更大的区域内找到另一个解析函数与其相匹配(在两者的交集内函数值和所有导数都相等),我们就说这个新函数是原函数的一个解析延拓。回到幂级数,复数函数1/(1-z)是z幂级数的解析延拓,它几乎适用于整个复平面——它在扩展域的任何点以及任何点的邻域内...
2021考研高数核心知识点:四则运算求极限
第一,当函数f(x)是一个整式,可以对极限的四则运算法则进行直接的运用和计算,或是直接对f(x0)进行求解。第二,当函数f(x)是一个分式,其分母的极限等于0,而要注意分子的极限并不等于0,那么便可以对极限的四则运算法则进行直接的运用并计算,或者求出f(x0)。第三,在函数f(x)是个分式的情况下,当分母的...
一个令人惊叹的数学恒等式,一个天才的发现,一个意想不到的结果
如果没有这个+1,那么要找的函数就是导数为自身的函数,这个函数就是指数函数:指数函数并不是唯一一个等于其导数的函数。2乘以e的x次方也等于它的导数,3乘以e的x次方也是。实际上,具有这种特殊性质的函数正是形如常数乘以e的x次方的无穷多个函数。现在,我们将1重新加入到微分方程中,这可能会增加解微分方程的...
世界上第一个证明π是无理数的方法—高中生也能理解
其中表示阶导数且。因为在处具有任意阶导数,用麦克劳林公式在处展开,得到:同样展开得到:▌证明过程0)总体思路第一步,兰伯特得到了的连分数表示:第二步,兰伯特证明了,当x是除0之外的有理数()时,是无理数。所以、等都是无理数。第三步,因为,不是无理数,所以不能写为分数形...
看得懂的数学之美:从青年欧拉对巴塞尔问题的解法说起
如果我们把等式左边的x移到右边,即产生了一个x三次方项,现在左边只剩下sinc(πx)(www.e993.com)2024年9月24日。现在学过泰勒展开式的你知道要怎么解了吗?只需要把sinc(πx)展开到x的立方项,那么立方项的系数肯定是相等的,因此也就能解出巴塞尔问题了。泰勒级数...
函数y=1/(x^3+1)的函数性质及其图像
或者,用导数知识求解有:y=1/(x^3+1),dy/dx=-3*x^2/(x^3+1)^2<0,即此时函数y为减函数。※.函数的凸凹性:dy/dx=-3*x^2/(x^3+1)^2,d^2y/dx^2=-3*[2x(x^3+1)^2-x^2*6*x^2(x^2+1)]/(x^3+1)^4,...
历年高考数学易错点大汇总 想少走弯路的看过来
错因分析:在使用导数求函数极值时,很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点,而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断,误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这些错误的原因是对导数与极值关系不清。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件,在此提醒广大考生...
2016年高考数学备考:容易混淆的知识点总结
错因分析:在使用导数求函数极值时,很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点,而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断,误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这些错误的原因是对导数与极值关系不清。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件,在此提醒广大考生...
高考数学易混淆的知识点总结
错因分析:在使用导数求函数极值时,很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点,而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断,误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这些错误的原因是对导数与极值关系不清。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件,在此提醒广大考生...