被数学选中的人:现代概率论之父柯尔莫哥洛夫

概率论的基础柯尔莫哥洛夫在概率论领域的一项伟大成就，便是使用测度论的语言将概率论作为现代数学的一个领域确立下来。以往，随机事件、随机量都是在没有被定义的情况下直接使用的。柯尔莫哥洛夫看破了概率和测度具有同样的性质，在概率空间(Ω,F,P）上将随机事件通过Q的F-可测子集定义，将随机事件的概率...

调和级数——自然真理是如何隐藏在数字中的,永远不要相信直觉

这意味着它(平方级数)收敛到比2小的数值上。现在,让我们在调和级数上尝试同样的方法。我们先把它改写为:括号内的每项都大于等于1/2。所以,整个级数比(1/2)n要大,当n无穷大时,级数也是无穷大的。由于调和级数以1/N的速度增长,这让人很容易想起自然对数函数,它也是以1/x的速度增长(这个速度随着x越来...

发散级数怎样求和?

任何标准的微积分教科书中都严格定义了何时称一个级数“收敛”、什么是收敛级数的“和”,以及何时称一个级数是“发散”的。给定一个无穷级数,其中an是实数无穷数列,称为该级数的通项。(在本文的数列记号中我们不外加大括号“{}”或圆括号“()”,以示符号简洁,故an既表示数列的第n项,又表示数列本身,就像f...

从零开始推导幂法则,为什么深刻理解数学定义如此重要?

我们要把这个值定义为接近无理数幂的有理数幂级数的极限。这一部分的证明可能有一些错误,因为我从未见过有人以这种方式证明它,所以如果我搞错了,请在评论中告诉我。每个无理数都可以被表示为有理数级数的极限。那么现在,让我们来设定一些定义:如果r=π,那么R4=3.1415。如果r=sqrt(200),那么R3=14.142。换句...

欧拉常数——最神秘的数字,调和级数的产物,至今看不清它的面貌

证明T_n是有界的。证明T_n是单调递减的,因此,有一个确定的极限,即γ(gamma)存在。为γ找到一个更严格的下限。为有兴趣的读者提供一些围绕级数收敛的额外(严格)细节。T_n是有边界的??首先,我们给出γ的下限。下面是y=1/x的图。在这里,我们利用了一个技巧,即用单位宽度的矩形条比较图下的面积,高...

...页纸,至今仍在给数学家启发和挑战,黎曼究竟写了什么? | 科技袁人

现在我们来解释一下(www.e993.com)2024年12月18日。欧拉ζ函数是这样一个对所有自然数求和的级数:需要注意的是,这个级数只在s>1时收敛,在s≤1是发散的,因此没有意义。但是黎曼提出了一种通过ζ(s)来定义ζ(1-s)的方法,硬是把这个函数扩展到了s≤1的区域。黎曼是怎么做的呢?在s>1的情况下,黎曼经过一番巧妙的变换,...

所有自然数之和是-1/12?它在物理学中还有特别的应用?

可以看出A(n)在1和0之间来回跳动,按照极限的定义,这个极限不存在。当我们写下A(∞)这个符号时,它究竟指代什么,还没有清楚的定义。其实这也是发散级数求和的基础问题:如何定义发散级数的和。相关的定义不止一种。大体来说,主要有切萨罗求和与阿贝尔求和两类,另外拉马努金和黎曼等人也发展出许多更一般性的理论,...

解集基底互素定理可判定黎曼假设中的狄利克雷特征无扩域通解

也就是说,发散的原级数经解析延拓变为交错级数则存在客观上条件收敛。ζ(s)=0的所有非平凡解集位于一条经过横坐标1/2处的垂直线上,这就是黎曼猜想。“解析延拓”定义:假定函数f1(z)与f2(z)分别在区域D1与D2中解析,D1与D2有一公共部分,在其上f1(z)=f2(z))成立。于是将f1...

没错,所有自然数之和是-1/12

对C(n)这个发散级数,我们可以引入某个剪刀函数f(x)来压制那些趋向无穷大的项,从而使发散的趋势在某个特定的位置N附近停下来,并最终收敛到某个极限S(N)。这样我们就用标准的极限概念构造出一个S(N),当N有限时,S(N)是个有限值,而当N趋于无穷大时,S(N)就对应着全体自然数之和。

神童、数学家、抑郁症患者,控制论之父诺伯特·维纳的一生

「德语是他的家庭语言，俄语是国家官方语言……法语是学校语言。在东欧（尤其是波兰），一些人仍保持着文艺复兴传统，使用意大利语作为另一种礼貌交谈的语言。」而维纳的父亲Leo将这一惯例发挥到了极致，据说Leo十岁时就会说多门语言。在其一生中，Leo掌握了34种语言，包括盖尔语、多种美洲印第安语，以及...