怎样迭代求解线性方程组?
这个线性方程看上去像一元一次方程ax=b一样简单,但如果按照矩阵乘法的法则将方程左边每个分量的代数表达式全部写出来,结果就是一组含有n个未知数x1,x2,…,xn的n个n元一次方程。如果将方矩阵A中第i行、第j列的元素记为aij,将列向量b的第i个分量记为bi,那么线性方程组Ax=b展开后的第i个方程为...
深层解读:引力的本质是时空弯曲,但时空到底是如何弯曲的?
首先所谓长度由两部分构成:值和度规比如一根线段长“2米”。“2”叫做这个长度的值,“米”叫做这个长度的度规。一根线段长“2米”的意思就是:把“米”作为一个标准的单位长度,那么这根线段有两个标准长度这么长。矢量长度改变的意思就是:原来2米的线段,现在变成3米了。这里面包含两种可能:1,线段真的变...
席南华:基础数学的一些过去和现状
不定方程是数论研究的中心对象之一。直角三角形三边的关系x2+y2=z2就是一个不定方程,它与圆方程类似。它有很多的整数解,勾三股四弦五就给出一组。一般的解很容易给出:X=a2-b2,Y=2ab,Z=a2+b2,其中a,b是任意整数。高次的情形就是方程xn+yn=zn,其中n是大于2的整数。1637年,费马在一本书内的边...
浅谈黎曼度量的计算问题
最终的理论工具来自丘成桐先生创立的几何分析方法,即在黎曼流形上解非线性偏微分方程。黎曼度量的计算问题可以简单归纳为下面几个问题:1.给定拓扑,如何计算流形的标准黎曼度量,例如常值曲率度量;2.给定曲率,如何计算满足曲率条件的黎曼度量;3.给定特定条件,例如和乐群,如何计算满足条件的黎曼度量;4.给定黎曼度量...
罗杰·彭罗斯:量子力学并不是完全正确的
一个是量子系统的演化,可以用薛定谔方程精确描述。这个方程可以告诉你:如果你知道一个系统现在的状态,你可以计算得出这个系统接下来10分钟内将发生的事情。然而,量子力学的数学还有另一个部分,即你在做测量时候发生的事情。你用方程得出的是某种特定结果的几率,而不是某一个单一结果。这种方式所得到的结果并没有说明...
布洛赫电子的拓扑与几何
这个贝里相位是几何的,因为它的表达式不依赖于参数空间内的坐标变换,就像一条曲线的长度并不依赖于曲线方程用什么参数来表达(www.e993.com)2024年7月11日。它还是物理的,因为它不依赖于本征波函数的相位如何选取,具有所谓规范不变性。BOX1贝里相位考虑一个由哈密顿量描述的系统,其中R=(R1,R2,…)是一组随着时间缓慢变化的外界参数。
数学中的“太极”:切触几何的柔与刚
中的超曲面S={F(x1,…,xn,y1,…,yn,z)=0},那么微分方程的解就对应于S中n维曲面C,使得C的切空间是包含在超平面中。后者便是上的标准切触结构,而这样的曲面C则被称为勒让德子流形。如此,对于一阶微分方程的解,我们便有了如下的几何解释:...
磁单极的三世三生——本科生硕士生博士生层面的磁单极精讲
1.2静态电磁场方程:磁场是无源场先考虑静态场,电场强度E和磁场强度B满足不同的方程(取SI制但是为简单起见令ε0=μ0=c=1,无介质)(1)(2)方程(1)右方的ρe是电荷密度,但是方程(2)的右方是零,这就是“没有磁荷”的数学表达,满足方程(2)的场称为无源场。
拉格朗日方程与哈密顿原理,终极的自然原则,宇宙的主要动力
函数L=T-U非常重要,它有自己的名字,被称为拉格朗日方程。我们得到欧拉-拉格朗日方程:欧拉-拉格朗日方程给出了每个q??的运动方程。对于很多重要的机械系统来说,一旦你有了拉格朗日方程,找到运动方程就很简单了。我们可以说,关于标准系统状态随时间演化的所有信息都包含在拉格朗日量中。
最美的公式:你也能懂的麦克斯韦方程组(微分篇)
这样,我们就把高斯电场定律从宏观拉到了微观:方程的左边表示曲面缩小到无穷小时的电通量,方程的右边表示无穷小曲面包含的电荷量。但是,当曲面缩小到无穷小的时候,我们再使用电荷量Q就不合适了,所以我们改用电荷密度(符号为ρ)。电荷密度,从名字里我们就能猜出它表示的是单位体积内包含电荷量的大小,所以它的表达式应...