数学思维到底是什么?如何训练?顶尖数学大学教授的这篇文章终于说...

这一过程从自然数(1、2、3……)开始,然后是自然数之间的分数,接着我们延伸到原点两侧的正负自然数(整数)和正负分数(有理数),最后扩展到包含有理数和无理数的全体实数。我们还会关注如何自然地进行整数、分数、小数的加减乘除运算,特别是那些将成为不同数系的形式化公理基础的性质。第二部分将介绍适合数学家所...

为什么不能用 0 做除数?|整数|实数|同余|自然数|有理数_网易订阅

1.自然数,整数,有理数的构造1.1.自然数集.由无限性公理,我们可以自然导出以下无穷集合:,我们可以给这个集合中的元素命个名:就这样,我们就有了自然数集.我们用表示.1.2.整数集,可以按照以下等价关系构成商集当且仅当.其中加法为一般意义上的加法.容易验证这是一个等价关系.它在...

有理数和无理数到底哪个多?

我们知道实数是由有理数和无理数组成的,而有理数是可数的(因为它能有序排列,其基数等于自然数),所以无理数必然不可数。数轴上排得密密麻麻(稠密的)的有理数,在无理数面前实在太稀疏了。这一幕仿佛《庄子》庖丁解牛故事里的“以无厚入有间”(来自《庄子??养生主》,原意为:用很薄的(刀刃)插入有空隙...

阿里数学初赛第三题里的稠密子集,数学抽象的背后是朴素 | 二湘空间

不管它再多,没有实数点多吧,因为它是实数点的一部分。可是,怎么证明这一点呢?一般人不会琢磨有理数点比实数点少的证明这种怪异问题,可有人会,一百多年前有个叫康托的德国人就苦思冥想这个问题。康托图源网络不过康托刚开始思考的问题略有不同,他天天对着自然数、偶数发呆:他要比较自然数和偶数谁多谁少!

成人高考数学考什么?

实数的分类自然数表示物体个数的1、2、3、4···等都称为自然数质数与合数一个大于1的整数,如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除,那么这个数称为质数。一个大于1的数,如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除,那么这个数知名人士为合数,1既不是质数又不是合数。

0.999999...8是一个什么数?有理数还是无理数?

因为要回答龙是什么纲的动物,相当于默认了龙是脊椎动物(www.e993.com)2024年11月17日。然而龙压根不是动物。龙只是古人为天气变化等自然现象所臆想出的符号。它由一堆不同纲的动物直观特征杂糅构成。是古人对动物定义尚不明确的背景下的产物。同理:你问0.9999…8是有理数还是无理数,相当于默认了它是实数。但它压根不是实数。

席南华:基础数学的一些过去和现状

例如某人有个面积无穷的王国,国土增加一两平方千米的面积对他显然没什么意义。无限集合的计数理论是德国人康托尔在19世纪后半叶建立的,称为集合论。其中一个核心的概念是等势:两个集合称为等势的如果它们之间能建立一一对应。有意思的一件事情是自然数集合和有理数集合等势,但与实数集合不等势。1874年,康托尔...

黎曼猜想显著突破:陶哲轩强推MIT、牛津新论文,37岁菲尔兹奖得主参与

Maynard还在丢番图逼近领域做了基础性工作,他与蒙特利尔大学数学教授Koukoulopoulos解决了Duffin–Schaeffer猜想。该猜想于1941年提出,可以被认为是Khintchine定理的最终泛化,描述了一个典型的实数如何被有理数逼近。2022年,Maynard因在解析数论方面的贡献荣获菲尔兹奖。菲尔兹奖是数学领域最负盛名的奖项,...

如何用基础数学证明0.999...=1?无穷带给人类的困惑和深层思考

但是,很多人潜意识里很难接受自然数和偶数一样多的事实,究其原因,就是因为很多时候,我们会下意识地用有限的思维方式去衡量无限的概念。再说一个相对高深的例子,实数是由有理数和无理数组成的,有理数和无理数都有无穷多个,你认为有理数和无理数谁多呢?

p 进数:展开有理数,何必是实数

从逻辑上来说,第一个定义的应该是自然数,然后才是,但是这每一步是怎么来的呢?是由皮亚诺公理定义的,也就是从开始,规定每个数都有一个后继数,所以可以使用数学归纳法。随后我们要得到,该怎么办呢?直观来看,定义整数允许了负数的存在。但是负数究竟是什么?比如说,它其实是,也可以是。所以如果要用来定义的话...