庞加莱狂攻击,老师怒割席,一念天堂一念地狱的数学理论
他在信中说:“取所有自然数的集合,记为N,然后考虑所有实数的集合,记为R。简单说来,问题就是两者是否能够对应起来,使得一个集合中的每一个体只对应另一个集合中一个唯一的个体?乍一看,我们可以说答案是否定的,这种对应不可能,因为前者由离散的部分组成,而后者则构成一个连续统,但是从这种说法里我们什么也得...
埃尔德什追忆乌拉姆:他是神童,也是神叟
从我们的演讲以及同RonaldL.Graham(1935-2020)的讨论中,产生了一个新的问题:假如n>n0且a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个重新排列,那么是否存在一个三项等差数列x,x+d,x+2d使得ax,ax+d,ax+2d同样构成等差数列?即便乌拉姆并不是数论学家,他也发表了很多有趣的数论问题,其中不少是他在博尔德1963年的数...
数学悖论系列之六(选择公理的悖论)
假设AC等同于假设以下任何原则(以及许多其他原则):给定任意两个集合,一个集合的基数小于或等于另一个集合的基数--即,一个集合与另一个集合的某个子集一一对应;场F上的任何向量空间在该场上都有一个基——即一个最大线性独立子集;紧凑拓扑空间的任何乘积都是紧凑的……一些纯数学家和许多应用数学家...
数学悖论系列之五(无限大的悖论)
正奇数集合、正偶数集合、整数集合、自然数的平方集是可数无穷集(图42)平面上坐标为整数的点的集合(Z×Z)与自然数集N等势(图43)有理数集Q与自然数集N等势(图44)素数集P与自然数集N等势(图45)图42图43图44图45(2)不可数无限集合如果一个集合包含太多元素,以至于它们不能与自然数集合一一...
是什么让他成为现代计算机之父?丨纪念冯·诺伊曼诞辰120周年(下)
他研究了当N很大时,有限个N×N矩阵的性质,以及N维复欧几里得空间上所有线性运算所构成的空间的行为。文章直截了当,并且在前言中明确指出,与通常的方法相比,这种研究极限情况(即无限维酉空间,就是希尔伯特空间)的渐近方法被无端地忽略了。(这种说法与他在《量子力学的数学基础》一书的引言中表达的观点几乎相反,这是...
谈胜利:回忆我的导师肖刚教授_澎湃号·湃客_澎湃新闻-The Paper
用经典的语言,n次覆盖就是研究一个n次代数函数域,即函数域上的n次扩域(www.e993.com)2024年10月21日。研究的第一步是计算扩张的整闭包,数论上的说法就是求扩域中所有的代数整数,函数论上的说法就是求扩域中所有的整函数,代数几何上的说法就是要计算正规化。第二步就是奇点的解消和不变量的计算。
万字综述:如何重新定义精神病学?
在对立的另一端是强规范主义者,他们认为不存在可以客观描述的自然生物过程集合,我们可以称之为“功能障碍”。因此障碍的归因完全是价值驱动的。然而,规范主义者对这些价值判断的本质持有不同的看法。K.W.M.Fulford认为,障碍本质上是规范性的,因为它基于“障碍体验”,即患者对某些事情出错的直接体验,这种体验依赖...
生命相变必然涌现,而演化则不可预期
第一个是DNA集体自催化集,由G.vonKiedrowski构建(7)。N.Lehman及其同事实现了RNA集体自催化集(8)。该集合可以根据其构建块自发地自我组织。图2显示了由G.Ashkenasy构建的九种肽的集体自催化集(9)。还考虑了脂质的自催化集(10)。
一个深刻问题:何为相等?_澎湃号·湃客_澎湃新闻-The Paper
更严格地说,一个范畴是由一类数学对象以及它们之间的映射构成的。集合的范畴中对象为集合,集合之间的映射为函数;群范畴中对象为群,群之间的映射则是群同态。那么什么是2-结构,即范畴之间的等价呢?为了表明回答这样的问题是有意义的,这里举一个学习线性代数的例子。
2024年热门开源大模型总结
在经典的数据集评测上,比Llama3-8B模型效果要好。比如MMLU(大规模多任务语言理解)、MATH数学等领域表现较好大海捞针实验中,在基于1M的上下文输入下,准确率很高:此外,它这里还做了一个工具调用的实验评测:BerkeleyFunctionCallingLeaderboard。这个评测榜单,主要是用来测试大模型调用函数工具的能力。比如大模型能不...