矩阵乘法为什么是这样定义的?

在数学书里,矩阵通常用一个英文大写字母表示,然后用它对应的小写字母连带两个下标表示该矩阵中的一般或特殊元素,如A=[aij]表示一个矩阵,aij表示该矩阵位于第行和第列交点处的那个元素。在本文中,为了方便和具体起见,我们假定矩阵中的所有元素都是实数。从19世纪中叶开始,矩阵理论迎来了系统发展时期。西尔维斯特和...

从近视宅男买早餐到彭罗斯逆矩阵(2)逆矩阵|N文粗通线性代数

P1的第一行是(100),表示(A'|y')的第一行就是(A|y)的第一行。注意这种用左边的向量去乘右边矩阵的操作中,我们是把左边每一横行的元素,竖起来与右边矩阵各个列的元素分别相乘并累加的。P1的第二行是(-210),表示(A'|y')的第二行等于(A|y)的第二行减去第一行的2倍。P1的第三...

线性代数学与练第26讲 :矩阵的相似对角化

在上一节的讨论中我们知道,方阵的迹等于所有特征值的和,也等于反正主对角线元素的和,而方阵的行列式等于所有特征值的和,由此可以看到,特征值在描述矩阵及其行列式的相关结论中有着非常重要的作用.那么,除此之外,它还对于描述矩阵具有一些怎样的意义和联系呢?本讲的任务:首先讨论同型方阵之间的相似关系,然后研...

【线性代数】全书知识点最全梳理(上)|定理|行列式|方程组|一次...

定理4如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.定理4′如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零.齐次线性方程组的相关定理定理5如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0,则齐次线性方程组只有零解,没有非零解.定理5′如果齐次线性方程组...

3个德国人创造的线性迭代法,超越了一个时代

我们曾经提到,一个矩阵是奇异的当且仅当它的行列式等于零,故λ是M的特征值当且仅当det(M-λI)=0,其中符号det表示行列式。如果把这个等式左边中的λ看成是变元,根据行列式的定义,det(M-λI)的展开结果是关于λ的一个n阶多项式,所以一个n阶方阵M顶多有n个相异的特征值。我们把M的所有特征值绝对...

2021考研数学线性代数重要考点之行列式的应用(2)

用行列式判定线性方程组是否有解,即Crammer法则用它的前提条件是:1.线性方程组AX=b方程的个数与未知量的个数相同,即系数矩阵A是一个方阵2.系数矩阵A的行列式|A|≠0.则方程组有唯一解:xi=Di/DD=|A|Di是D中第i列换成b得到的行列式.

【数学史】矩阵和线性代数原来是这么来的

Lagrange希望表征多元函数的最大值和最小值。他的方法现在被称为拉格朗日乘数法。为此,他首先要求一阶偏导数为0,另外还要求关于二阶偏导数矩阵的一个条件成立。今天,这种情况称为正定性或负定性,但是,拉格朗日并没有明确使用矩阵这个概念。进入十九世纪后,行列式的研究进一步发展,矩阵的概念也应运而生。

正定二次型的充要条件是什么

若对任何非零向量x，实二次型，如果对任何x≠0都有(x)>0(显然(0)=0)，则称为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。向量在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量...

「图解线性代数」-以动画方式轻松理解线性代数的本质与几何意义

浅红色方格在变换后面积变成了原来的2倍,这里其实就是行列式的意义-面积的扩张倍率Det(A)=2再看到更多矩阵变换之前,先停下来看看下面静态图片的进一步解释:变换前矩阵的基底向量i(1,0)移动到了(2,0)的位置,而j基底向量(0,1)还是(0,1)没发生任何变换(移动)-也就是基底的...

2014考研线性代数大纲解读及知识点串讲

从行列式的角度有其等价说法,就是n阶矩阵A的行列式不等于0;从矩阵的角度它的等价说法是矩阵A的秩等于阶数n;从向量的角度描述,就是矩阵的行向量组是线性无关的,同时列向量组也是线性无关的,并且任何一个n维列(行)向量都可以由该矩阵的列(行)向量组来线性表示;从特征值的角度描述,就是矩阵A的特征值都是非零...