0.999999...8是一个什么数?有理数还是无理数?

这时候,我们会直观地感觉到,分数/整数这类数,和根号二这类非分数/整数的数可统称为实数,前者叫有理数,后者叫无理数。并且可以发现,任意实数都可用十进制小数表示,因为有理数总能写为有限小数或无限循环小数,无理数总能写为无限不循环小数(读者自证不难)。但若要严格证明“无理数总能写成无限不循环小数”...

精美的几何证明:根号2不是有理数

精美的几何证明:根号2不是有理数证明是数学的基础。这就是我们知道我们使用的每个规则和定理成立的原因。如果没有逻辑上严格的证明,数学将是一堆虚假的假设。证明有各种方法和规则。有些是长期的和艰苦的,很少能被人发现,而另一些人则站在这样的基本逻辑上,一点点推动数学的发展数论和分析的一个经典证明是证明...

这个数学家因发现“根号2”而献出了宝贵生命,数学史也因此改写

然而，因一次偶然的机会，毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现了一个令人惊讶的事实：边长为1的正方形的“对角线”无法用现有的“有理数”表示。也就是说，正方形的边长与其对角线是“不可公度”的，这条对角线的长必须用一种新的“数”来表示，这个数就是无理数“根号2”。这一发现对于“毕达哥拉斯学派”的打击是...

如果根号2被计算到最后一位,世界会怎样?

根号2是人类发现的第一个无理数,根号2的发现具有划时代的意义,这个数字让人们第一次知道了自然界除了整数以外还有别的数。打开网易新闻查看精彩图片大约在公元前580的古希腊,出现了一个叫做毕达哥拉斯学派的研究组织。这个组织可谓是当时的第一大学术团体,并且广泛影响到当时的所有人。这个组织的头目自然是叫毕...

惊奇的简单证明:五种方法证明根号2是无理数

根号2是无理数,我们证明到了。根号3呢?根号5呢?你可能偶尔看到过,Theodorus曾证明它们也是无理数。但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。你可以在网上看到,Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问:怪了,为什么证到17就不证了...

一个被猜成无理数的有理数

一个被猜成无理数的有理数Source:wikipedia[1]我们都听说过根号2的故事(www.e993.com)2024年11月2日。历史上有许多特殊的数字,它们被人们认定是有理数但最后却不得不承认是无理数。但似乎还没有哪个特殊的数字被人们认定是无理数的有理数,至少没人正式宣布一个数是无理数,而后来被人们证明是有理数。不过有这样一个常数,它曾经被...

经典证明:几乎所有有理数都是无理数的无理数次方

一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数?这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的,证明方法非常巧妙:考虑根号2的根号2次方。如果这个数是有理数,问题就已经解决了。如果这个数是无理数,那么就有:我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。

一个无理数引发第一次数学危机,这个数学家献出了宝贵的生命!

希帕索斯发现，边长为1的正方形，它的对角线（根号2）却不能用整数之比来表达。这一发现完全不符合当时哥拉斯学派“一切量都可用有理数表示”的观点。他把这个发现告诉了毕达哥拉斯，毕达哥拉斯听了之后，大为震惊！毕达哥拉斯是一个功利思想非常强的人，绝对不充许有与“万物皆数”理论对立的意见存在。他认为...

世界上第一个证明π是无理数的方法—高中生也能理解

这个等式显然不成立,因为其左边是一个偶数而右边是一个奇数,得到了矛盾的结果,因此是有理数的假设不成立。附一中有几个练习,请试试。2)连分数连分数(Continuedfraction)也叫繁分数,是形如下图的分数:其中、、,、、为实数或复数。连分数常用来逼近无理数,这也是最早研究连分数的动机,想将实数用“纯...

根号2与棍棒之下出孝子——突破认知的边界有多难?

熟悉根号2产生历史的人或许都知道这么一个故事。著名的数学家毕达哥拉斯,也就是发现勾股定理的那位,他认为万物皆数,都可以用整数来理解,分数也仅仅是两个整数的比值。而他的学生希帕索斯发现了根号2,认为"数"并非只有有理数,还有有理数无法表示的数,后来希帕索斯被投进海里了。