2024年阿贝尔奖得主访谈(下):米歇尔·塔拉格兰
这个猜想本质上是说,当随机傅里叶级数是两种不同特定类型的混合时,部分和几乎肯定完全一致地收敛,收敛性非常明显。所以自然是尽可能简单的。看起来很复杂,但那是因为你不知道怎么看。如果你知道如何看待,就会发现这是两种非常简单的情况的混合物,值得注意的是,它们由于完全不同的原因而聚合。[BID/CFS]:这一定是...
发散级数怎样求和?
这个法子是用来对付不收敛数列的,而级数的收敛性或发散性,根据定义,实际上是关于给定级数的部分和数列而言的。所以我们来考虑怎样让一个不收敛的数列转变为一个“收敛数列”。先举个简单例子。考虑数列an=(-1)n-1。它是1和-1交替出现的无穷数列,当然不收敛。然而如果我们取这个数列的前n项的算术平均值,得到的...
数学悖论系列之五(无限大的悖论)
当前在房间1的客人移动到房间2,当前在房间2的客人移动到房间3…以此类推,将每个客人从他们当前的房间n移动到房间n+1。无限酒店没有最终房间,所以每个客人都有房间可去。在这之后,房间1是空的,新客人可以被移到那个房间。②来了k个客人(空出来的房间号:1、2、…、k)通过重复①的移动过程,就能为任何有限...
美丽而“无用”的莫比乌斯反演,解决了一类物理问题
多项式方程zn-1=0的复数解称为1的n次根,它们是无穷级数至此所讨论的级数都是“有穷级数”,即有穷个数的和式。下面考虑几个无穷级数,对它们进行“级数通项分组重排”的莫比乌斯反演手术时,需要保证运算正确,一个使得手术成功的充分条件是相关级数“绝对收敛”,一旦无穷级数出笼,这个假设将不加交代地给出。理由...
3个德国人创造的线性迭代法,超越了一个时代
顺便提及,该性质是有穷维空间的特征,即一旦线性空间的维数变成无穷大,那么赋予它的两个范数不一定导出同等的收敛性。所以,从“有穷”到“无穷”,它们之间常有“万里之遥”。这样一来,n维向量空间Rn在随便哪个范数||??||下都变成一个完备的距离空间。给定一个n阶的方阵M,这个被选用的向量范数诱导出对应的...
我研究数论二十三年的成果总结
其实稍微有点基础数论知识的都可以注意到,我的改进仅仅是把“自然数多元化了,增加了项数N(www.e993.com)2024年11月24日。”其本质还是“古老的筛法”。但是就是这点变化,就是开拓性的进步。在项数N的秩序中,数列2N+1中,合数项级数(等差数列)有这些:N=3k+1N=5k+2N=7k+3...
算术级数中的素数——数学天才狄利克雷的解析数论
这里的log表示自然对数。现在,回想一下对数的泰勒级数展开其中x允许取[-1,1)区间内的值以使右侧的级数收敛。在我们的logζ表达式中,当s>1并且任何素数都大于1时,我们就有这样的例子。这样我们得到从右边s→1。最后一个表达式只是一种奇特的说法,即logζ(s)=∑1/p^s加上某个有界函数(有...
欧拉常数——最神秘的数字,调和级数的产物,至今看不清它的面貌
证明T_n是单调递减的,因此,有一个确定的极限,即γ(gamma)存在。为γ找到一个更严格的下限。为有兴趣的读者提供一些围绕级数收敛的额外(严格)细节。T_n是有边界的??首先,我们给出γ的下限。下面是y=1/x的图。在这里,我们利用了一个技巧,即用单位宽度的矩形条比较图下的面积,高度等于函数在该点的值...
调和级数的几个有趣应用及一个著名悬而未解的数学问题
同样地推理,四辆吉普车,可以行驶的最长距离为1+1/3+1/5+1/7箱油的距离,则只需n辆吉普车你就能穿越沙漠,沙漠的距离计为在这里,我们有一个新的级数,它也是调和级数(每一项都是等差级数的倒数),当然也发散的事实上,这个级数的收敛性表明,通过使用这样转移油料大法,只要你有足够多的吉普车就可以穿过...
67岁的张益唐将迎来人生第二次学术大突破吗?
(1)这个级数实际上是s的函数,后来被称为ζ函数。欧拉一开始自然先考虑s为正整数的情况:当s=1时,得到的是我们熟悉的不收敛的调和级数;如s>1,级数收敛,比如:s=2,是欧拉解决的巴塞尔级数,无限项求和结果是??2/6。天才的欧拉将调和级数的发散性与“素数无限多”的问题联系起来,得到一个惊人的结论:...