欧拉对“级数”的研究,发现了其他数学家几十年未能发现的结论

欧拉多少意识到收敛性的重要,他也看到了关于发散级数的某些困难,特别是用它们进行计算时产生的困难。欧拉将收敛级数定义为,“级数的项不断地减小,当级数的项数趋于无穷时,它的项完全消失,这样的级数被称为收敛级数”“发散级数则就是那些不是收敛级数的级数,即级数项为某个不为零的有限量或趋于无穷的级数。在级数...

在线计算专题(08):泰勒公式、常值级数、幂级数与傅里叶级数求和与...

计算结果直接告诉我们,该级数是不收敛的,即发散的.3、泰勒多项式与泰勒级数例1求函数关于的泰勒级数参考输入表达式为seriesarctanx执行结果显示如下.结果默认给出带皮亚诺余项的泰勒公式,在后面则会给出一般性的泰勒级数表达式,如上图的蓝色方框.例2求函数在处带皮亚诺余项的10阶泰勒公式并写...

π的5个著名公式及其证明——圆周率是永恒的,不变的真理

然后,使用级数收敛定理可以证明这个级数收敛于π/4。莱布尼茨公式是计算π的一种简单方法,但是它的收敛速度相对较慢,因此在实际计算中通常使用其他更有效的方法。证明有很多方法可以证明这一公式,例如,我们可以证明函数arctan(z)的泰勒级数是下面的幂级数当-1≤z≤1时收敛。如果让z=1,就能得到结果。所以...

3月14日“π日”:我们总是与π这个数学常数不期而遇

1699年,亚伯拉罕·夏普利用这个公式将π计算到71位,但这个级数收敛得很慢,也就是说,你必须算许多项才能得到一个比较好的近似值。1706年,约翰·马钦利用tan(x+y)的三角公式证明了接着,他把1/5和1/239代入表示arctanx的级数。这些数字比1小很多,因此级数收敛得很快,也更实用。马钦用他的公式...

高一数学诱导公式

tan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:...

隐藏在 π 中的美丽

当今世界人类有很多方法去计算,最早的格雷果里-莱布尼茨公式如下图所示(www.e993.com)2024年12月19日。这样利用无穷级数去表示反正切函数arctanx,把无穷多个小数加到一起计算出了。当x=1代入方程即能求得/4的值。人们所展开的项越多,结果越趋近于。不过该级数收敛速度实在太慢,为了精确得到小数点后10位,我们要把大约50亿...