上下求索之解码数学中著名的分形——曼德尔布罗特集合(上)

曼集已经成为一个符号。它代表了对一种新的数学语言的需求,一种描述我们周围世界的分形本质的更好方式。它说明了最简单的规则可以产生深刻的复杂性——就像生活本身一样。(“因此,这是一个真正的希望信息,”约翰·哈伯德(JohnHubbard)是最早研究这个集合的数学家之一,他在1989年的一段视频中说,“也许生物学真的...

数学里存在不可能被证明的问题吗?

德国数学家格奥尔格·康托尔(GeorgCantor,1845～1918)基于这样的对角线方法,证明了对于所有的集合(包含无限集合),总存在集合元素个数更多的集合。因此,这也被称为“康托尔的对角线方法”。由于哥德尔通过巧妙使用哥德尔数和对角线方法证明了不完全性定理的正确性,导致了被称为“希尔伯特计划”的数学计划以失败而告终。

概念的表征应该如何表示|向量|高维|模态_网易订阅

向量空间:向量的集合,具有标准的数学运算,使得我们可以通过相加两个向量或用一个数缩放一个向量来创建新的向量。我们把向量空间想象为指定了一个可能的向量集合,例如,学习者可能会创建的向量。向量符号架构(VSA):神经启发的计算系统的一般术语,其中符号被赋予向量值,向量上的更新对应于符号上的离散逻辑运算。框1....

奥数老师深度贴: 对比中美数学课本, 终于明白为什么娃老是做错题!

这种语言形式,作为数学概念定义,也是不太符合要求的。而美国课本,从下面的这几个步骤带孩子理解探究什么是面积。首先,引入面积中非常重要的一个概念图形—单位正方形(边长为1的正方形)。再用GridPaper(格子纸)来度量各种平面图形的面积,把“面积”这个抽象概念变成看得见摸得着的"单位正方形格子的集合"。面积...

从希尔伯特到胡塞尔:现象学,特别是形式数学现象学的初步导论

因此,盘旋在胡塞尔头脑中的数学理想完全是现代的,首先是莱布尼茨—这位孤独的思想家,在数个世纪中不被理解,最初在他天才的“数学和逻辑统一的观念”中已经预见过这一点,特别是在他的严格的逻辑形式化的普全数学和代数符号化的关系逻辑的观念中,亦即组合术的语言(combinatoriacharacteristica)。[4]直到十九世纪,通过...

AI即将打败人类奥数冠军,凭什么?

AlphaGeometry是个神经符号系统,主要包括一个神经语言模型(大语言模型)和一个符号演绎引擎(www.e993.com)2024年11月15日。在这两部分当中,大型语言模型擅长识别数据中的一般模式和关系,因此它们可以快速预测可能有用的结构。但通常情况下,大型语言模型缺乏严格推理或解释的能力。这也是之前包括ChatGPT和GPT-4等大型语言模型在数学能力方面表现难如人...

最强大的数学和物理工具——张量,复杂的数学结构和高度的抽象性

集合{e_k}是基集。注意标量倍数是上标,而基分是下标。这是物理学中的标准记号。在爱因斯坦求和约定中,我们省略求和符号:在数学表达式中,如果一个索引(比如一个字母)同时作为上标和下标出现,这表示对该索引进行求和运算,涵盖了该索引的所有可能值。这种索引被称为哑指数。假设我们有一个三维向量空间,并选择了一...

美国学者称:可用简易方法证明费马大定理

美国数理逻辑学家哈维·弗里德曼认为,迈克拉蒂的工作迈出了第一步,希望他的工作扩大到是否仅由数字而不用集合就可以证明这一定理。迈克拉蒂说,“我相信是可以做到的,但它需要许多对数字的新见解,这将是非常困难的。”今年5月,迈克拉蒂将在加拿大滑铁卢大学举行的北美符号逻辑协会的年会上对具体结果作进一步的讨论。

3个德国人创造的线性迭代法,超越了一个时代

事实上,这个下界是对应于固定矩阵M的全部范数值||M||构成的实数集合的“下确界”,即这个集合的所有下界中的“最大下界”。“上、下确界”的概念是微积分学的最基础、最重要的概念,真正学通了它,极限理论以及随之而来的连续性、导数、积分、级数等等概念学起来甚至可以“无师自通”了。在稍微高等一点的矩阵理论...

人机混合智能:新一代智能系统的发展趋势

为此,希尔伯特在20世纪20年代去掉了罗素逻辑(罗素曾完善弗雷格逻辑的“说谎者”漏洞)中所有专门针对集合概念的部分,专门构建了“谓词逻辑”并沿用至今。因此,如希尔伯特所说,数学无需再用数字、几何图形等传统研究符号来描述,甚至可以用啤酒、凳子等毫无关联的符号来研究数学。通过抽象符号,用逻辑证明来定义数学,由此数学...