数学悖论系列之六(选择公理的悖论)

可数和不可数无穷大之间的这种差异使得自然数比实数更小——数学家通过说两者具有不同的“基数”来传达这种区别。1891年乔治·康托尔证明了实数确实比自然数多。他还证明了直线上的无穷多个点与填充一个形状(如球体)的体积的无穷多个点具有相同的基数。巴拿赫和塔尔斯基意识到,我们可以把一个球体分成两个,方法是...

开拓数论一个崭新的领域

素数的定义:一个大于1的正整数,如果它仅有的“因子”是1和它自己,这个数就是素数,反之就是合数。1.3两个关键问题的提出在这个“地基”里就是这些数最神秘2、3、5、7、11、13、17、19……,这些数叫“素数”(或称质数)。1是一个及其特殊的数,里面内容很多,不宜过早给它定性下结论。把1定义成一个...

释放比特自由——Wolfram的“一种新科学”介绍

一个很自然的想法就是将图灵机的纸带映射为元胞自动机的元胞。因此有多少个纸带就有多少个元胞,而纸带的黑白两种颜色就对应元胞的两种颜色。然而,因为图灵机还有一个读写头,这个读写头有着不同的内部状态,这些信息如何找到元胞自动机的对应呢?一个自然的想法是,增加元胞自动机每个元胞的可能颜色数。因为图灵...

数学家眼中的完美数字,一探完全数的迷人之处

2.连续自然数之和每个偶完全数也可以表示为连续自然数之和。这意味着它们是一些特定范围内自然数的和:3.连续奇立方数之和除了最小的完全数,其他的偶完全数可以表示为连续奇立方数之和,其中被加的项数等于:4.约数倒数之和每个完全数的所有约数(包括本身)的倒数之和等于。这是因为完全数定义上就是所...

数学教材“定义”更改引热议,数学老师不知该咋教,教材主编回应

新版教材改编后，将“有理数概念”修改为“可以写成分数形式的数称为有理数”，这一变化引发了网友的热议。很多数学老师对此表示不满，认为“能够写成分数”这一表述本身就涵盖了“整数”的含义。显然，修改后的定义不仅读起来更加复杂，还增加了学生理解的难度。尽管从数学的角度来看，这两种表达方式都没有错误，但...

数论里的一些基础概念

这也说明了3N+A与6N±1等数列之间关系,它们是不同“自然数空间”里面的数,不能混淆(www.e993.com)2024年11月17日。如果不首先明确自然数的空间,任何等差数列所表示素数都是混乱的,都是毫无意义的。因为同一个素数用等差数列表示,会有无穷多种不同的等差数列形式。当然这部分内容有待探索,是不是建立一个“等差数系”可以进行运算?

前N个自然数的立方和等于其和的平方,该如何理解几何意义?

而后者,正是前n个自然数之和再平方。不妨我们来看看该公式的几何意义,如下图:(1)第一步:就是一个面积为1的小正方形;(2)第二步:大正方形的边长增加了2,可以看出,总面积增加了2个边长为2的正方形面积;(3)第三步:大正方形的边长再次增加了3,可以看出,总面积增加了3个边长为3的正方形面积;...

哥德尔不完备性定理的意义是什么?

第三种是符号系统的序结构,它是受控实验作为一个整体普遍可重复及无限扩张的符号表达。在这三种基本结构中,只有序结构可用于定义自然数。换言之,自然数作为一个符号系统,表达的不只是受控实验结构的部分和细节,而是受拉实验作为一个整体的普遍可重复和无限扩张。

人文数学的文化意蕴及价值意义

数学的审美意义应该是人文数学中最丰富的。古代哲学家、数学家普洛克拉斯曾断言:“哪里有数,哪里就有美。”开普勒也说:“数学是这个世界之美的原型。”狄拉克说:“研究工作者,在他致力用数学形式表示自然界时,主要应该追求数学美。他还应该把简单性附属于美而加以考虑。通常,简单性的要求和美的要求是相同的,但是...

院士说丨席南华院士:数学的意义

2.数(sh??)数(shù)说起来,数学应该是从数(sh??)数(shù)开始的。我们有谁不会数数呢,在会说话后不久,父母就会告诉我们数数,到幼儿园后数数的本领肯定就更大了。我们数数一般是1,2,3,4,5,6,……似乎一般人不会想到用正整数把所有的整数都数一数。其实这是可能的,一个数法是:...