随机取一个正整数,是偶数的概率居然不是1/2?

设P是定义在样本空间Ω导出的σ域上的测度,如果它满足(1)对任意事件A,都有P(A)≥0;(2)P(Ω)=1;(3)对于可数多个互不相容的事件A1,A2,A3,……,An,……有P(A1∪A2∪A3∪……∪An∪……)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+……+P(An)+……;则称P是σ域上的概率。概率英文条件(1)和条件(2)...

数学悖论系列之八(统计学悖论)|定理|贝叶斯|概率论|统计量_网易订阅

概率的频率理论是统计学中的一个基本概念,它将概率定义为事件发生的长期相对频率。这个理论假设,如果一个实验被重复了很多次,那么一个事件发生的次数与总的实验次数之比将会收敛到一个固定的值,这个值就是那个事件发生的概率。这种方法在结果不确定的情况下特别有用,提供了一个基于经验数据量化可能性的实用框架。频...

深度长文:数轴上随机砍一刀,砍到有理数的概率为0(建议收藏)

如果最终的测度,也就是总长度为零,那么在数轴上得到有理数的概率就是0。如果把数轴上有理数上的点粘结起来呢?可以假设第一个有理数点的长度为x,第二个有理数点的长度为1/2x...第n个有理数点的长度就是x除以2的n次方。为何一定要这样设定呢?因为好计算更容易理解,非要设定成其他的数,也不是不可以,...

被数学选中的人:现代概率论之父柯尔莫哥洛夫

柯尔莫哥洛夫看破了概率和测度具有同样的性质，在概率空间(Ω,F,P）上将随机事件通过Q的F-可测子集定义，将随机事件的概率通过这个集合的P-测度定义，将随机量通过Q上的F-可测函数定义，将其平均值通过积分来定义。由此，概率论的理论展开就变得简单明确了。比如，我们来定义抛硬币游戏。设Xn(...

2024阿贝尔奖授予Michel Talagrand,因在概率论和泛函分析方面的...

概率论的一个关键结果是大数定律,该定律断言自随机变量的归一化和收敛于其均值。因此,这个归一化总和是集中的(使用Milman早期工作中创造的术语),或者说是自平均的(使用物理学术语)。人们逐渐意识到集中度无处不在,因为许多随机变量被定义为大量独立随机变量的函数,似乎以很高的概率接近它们的平均值。在一个惊人的杰...

2024年Salem塞勒姆奖授予Miguel Walsh和王艺霖

因其在椭圆特征值问题的研究中引入了新颖的几何组合方法(www.e993.com)2024年11月18日。除其他结果外,他证明了对紧致光滑流形上定义的拉普拉斯本征函数零集的豪斯多夫测度的估计(上界),以及在调和分析和微分几何中的估计(下界),证明了丘成桐和NikolaiNadirashvil(尼古拉·纳迪拉什维利)的猜想。

生成模型的流形、KL的正式严格定义

在X上的两个概率密度p和q之间的MMD,记为,定义为:MMD具有几个理想的数学性质。(i)在一些常用核函数满足的正则条件下,MMD是X上概率分布空间中的度量。(ii)可以通过蒙特卡洛采样直接以无偏方式估计,使其特别适用于基于梯度的优化。(iii)对于使MMDk在流形设置中有意义的核函数k的条件(...

样本数量的线性时间计算复杂度GAN

在这项工作中,我们提议使用基于特征函数(CFs)的距离度量来训练GANs。假设P是与实值随机变量X相关联的概率测度,则X的特征函数给出这个特征函数将输入的随机变量映射到复数域。其中是输入参数,i=√-1。特征函数在概率论中被广泛使用,通常用作概率密度函数的替代品。随机变量的特征函数完全定义了它...

长文综述:大脑中的熵、自由能、对称性和动力学|新春特辑

其中概率分布表达式一般化为事件xi的多测度函数gi(xi)。该分布的熵S最大化,记为:经验测度和最大信息熵之间的联系由配分函数Z确定(如状态和(Zustandssumme)中那样):联系如下:由经验测度j(x)>获取的相关性通过这些方程与平稳概率分布函数相联系,并且进一步联系到由朗之万方程表示的生成模型(也就是确定性影...

第三次科学范式转移?

不断演化的生物圈会进入它创造的相邻的可能性,然而我们却无法推导出相邻可能性中的“存在”是什么。我们无法获得这个过程的样本空间,因此既不能定义概率测度,也不能定义“随机”。我们无法进行充分的预测。这与常见的Kolmogorov概率公理形成了鲜明对比[41],Kolmogorov概率公理的样本空间必须是已知的。