数学悖论系列之六(选择公理的悖论)
有选择公理的集合论(ZFC),是一个公理系统,用于正式定义集合论。具体来说,ZFC是大约9个公理(取决于惯例和精确的表述)的集合,它们一起通过集合论的使用定义了数学的核心(见图57)。图57ZF这8个公理定义了一个一致的理论:ZF(当然,很难证明这个系统是一致的)。选择公理是集合论中的一个公理,具有广泛的影响,...
揭秘数学的语言:从定义到公理的逻辑之旅
定义提供了讨论的基础;公理作为推理的出发点;猜想激发了探究的兴趣和方向;定理是探究的成果,证明是验证的过程;推论则是对已知知识的延伸和应用。下面将快速梳理这些数学中最基础的概念,旨在促进大家欣赏数学的无限魅力,更进一步勇攀知识的高峰。基本概念定义(Definition)与公理(Axiom)定义是对某个概念或术语的清晰...
集合论新公理探究的哲学思考
值得谈及的是,60年代后期,索罗维猜想大基数公理蕴涵可定义实数的决定性公理;80年代中期,武丁作为索罗维的学生,最终证明了可定义实数的决定性公理等价于大基数公理的内模型。这个结果产生的影响是,使得两类在概念上处于完全不同领域的公理被统一起来:决定性公理继承了大基数公理的内在和外在证据,大基数公理转而获得支持...
整合信息论:我们可以从公理出发推演出整个意识理论吗?|周日直播...
作者从其提出的几个基本意识公理出发,层层构建,提出了因果信息、整合信息、概念信息,以及整合概念信息Φ。这些度量有两个核心:信息和整合。作者提出了信息的内在视角定义:信息就是产生不同的不同。在这一理念下,作者提出了因果信息和概念信息。而整合则是从拆分的后果去度量,以此,作者提出了整合信息与整合概念信息。...
席南华:基础数学的一些过去和现状
为此,格罗滕迪克定义了K群,这是K理论的开始。后来阿蒂亚和希策布鲁赫发展了拓扑K理论,它被阿蒂亚和辛格用于证明阿蒂亚-辛格指标定理。希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理也是1963年出现的阿蒂亚-辛格指标定理的先声。阿蒂亚于1966年获菲尔兹奖,这个指标定理是他最为有名的结果。K理论已成为代数、数论、几何、拓扑等...
数学的对象、推理、信息与其他领域并不完全一致
数学的推理是基于公理、定理和定义的演绎推理(www.e993.com)2024年10月17日。例如,对于几何学中的平行线定理,可以基于公理“通过外一点可以引一条平行线”和定义“平行线是在同一个平面上,永不相交的直线”,通过演绎推理得出定理“如果两条直线与第三条直线所成的内角对应相等,则这两条直线平行”。
王浩︱生物学的形式与直觉
但是,人们自然而然地希望一次性明确列出公理系统中所有演绎所需要的整个假设清单。许多人甚至会说,这个要求就是一个公理系统的定义,即使他们愿意诉诸现有的数学和物理公理系统作为系统的基础,并且允许二阶系统等等。在继续讨论将生物学公理化的尝试之前,让我简要评论一下哥德尔定理的推广问题。在某种程度上,物理学和...
用50多年时间,探索最令人困惑的复杂性理论知识极限
计算问题是指原则上可通过算法解决的问题,而算法则是指精确指定的指令列表。但是,并不是所有算法的用处都一样大,算法之间的差异暗示着不同类的问题之间的根本性差异。复杂性理论研究者面临的挑战是将这些暗示变成有关复杂性类之间的关系的严格定理。这些关系反映了关于计算的永恒不变的真理,其远远超越了任何具体的...
从王德峰抽烟说到“王德峰哲学”的“错误”
科学就是要探索出万事万物背后运行的规律。研究某一特定规律的就是特定的学科,研究所有特定规律的规律就是哲学,即哲学是研究普遍规律的。规律只能有两个层次,所以哲学是最高的精神活动。此处的规律包括所有的定理、公理、公式、效应、法则等等。只要抽象程度再高一个层次,中国哲学和西方哲学都是哲学,肯定存在统一的...
思维导图 | ??????????????知道与做到之间,隔着这2...
你搭建的人生系统,建立在你自己定义的公理之上。按照你自己定义的公理,根据公理推导出来的定理来生活,你的人生会过得更满足,更清晰,更自我。*文章为作者独立观点,不代表笔记侠立场。分享、点赞、在看,3连3连!