庞加莱狂攻击,老师怒割席,一念天堂一念地狱的数学理论

为了比较两个集合数目的大小,康托尔下了一个定义:“如果能够根据某一法则,使集合M与集合N中的元素建立一一对应的关系……那么,集合M与集合N等势或者说具有相同的基数。”基数,是对有限集合元素个数概念的一个推广。康托尔这个定义的重要性表现在它并未限定集合是有限集还是无限集。1873年11...

数学悖论系列之五(无限大的悖论)|伽利略|连续统|希尔伯特_网易订阅

对于两个集合A和B,如果存在从A到B的双射,就称A和B是等势的(即基数相等),记为:|A|=|B|。集合的势越大,所含的元素越多。当A=B时,一定有|A|=|B|,反之不一定成立。(1)可数无限(无穷)集合凡是与自然数集等势的集合称为可数集(可列集),故可列集也可称为可数无限(无穷)集合。A为可数无穷集合是...

席南华:基础数学的一些过去和现状|黎曼|代数|数论|群论|拓扑学|...

其中一个核心的概念是等势:两个集合称为等势的如果它们之间能建立一一对应。有意思的一件事情是自然数集合和有理数集合等势,但与实数集合不等势。1874年,康托尔提出有名的连续统假设:实数集合的任何无穷子集要么与实数集合等势,要么与自然数集合等势。1940年哥德尔证明了这个假设与现有的公理体系不矛盾。20世纪...

“氢弹之父”乌拉姆:我的朋友冯·诺伊曼

例如,冯·诺伊曼构造了一个与连续统等势的实数子集,使其内任何有限个元素都是代数无关的。而该证明没有用到选择公理。在同年发表在《数学基础》(FundamentaMathematicae)上的一篇论文[14]14中,他给出将区间分解为可数个不相交且同余的子集的方法(译者注:实数集的两个子集是同余的当且仅当其中一个子集通过平移...

古埃及分数的现代奇遇_澎湃号·湃客_澎湃新闻-The Paper

集合论中,一般通过映射来比大小:如果两个集合和之间存在一一对应的关系,则称二者等势,。如果与的某个子集等势,则。但是对于无限集和,它却有可能与自己的子集等势。可以证明,在等势意义下,自然数集是最小的无限集,而它包含的所有无限子集都与...

我在复旦学逻辑(四)

大二的时候又学了集合论和模型论(www.e993.com)2024年11月6日。我集合论学得好些,学的东西和习题大多都能做出来,但也有一些麻烦的习题需要想比较长时间才能想到。我有个习惯是在吃饭散步之类的时间想事情,印象比较深的是有个题大概是要证存在和实数等势那么多个至多实数大小的线序,做法还是有些复杂,就一边想这个问题一边去春晖。吃完烧烤就...

P=NP:多项式时间可解背包问题和3-着色问题

以上已经证明了,所有给定的离散量都可以用最简离散量来实现一一映射,因此NP=P,但因为仅在多项式时间里讨论,理论上可解的问题实际上不可解。任意给定的离散量并不能代表所有的离散量,故从某种意义上又始终(可理解成实际上)存在NP>P。即从一一映射的角度分析,NP与P是等势的,故可找到等量的函数表达...

科学家找到超级能源,取用不尽,实验证实是人类突破文明藩篱希望

真空是虚粒子的海洋,其中包含的虚粒子数量是无穷无尽的。虚粒子的个数与1、2、3、4、5和无穷大自然数组成的整个集合等势,都属于无限可数集合。并且所有无限可数集合都是等势的。所以我们也可以认为,一立方米真空中的虚粒子数等于整个宇宙真空中的虚粒子数。