所有自然数之和是-1/12?它在物理学中还有特别的应用?

我们再取剪刀函数f(x)=e^(-x)试试。此时这个求和可以严格计算出来。我们先对下面的等式两边求β的导数可以得到同样在大N条件下做1/N展开,就得到取β=1就得到同样也出现了常数项-1/12,而且也是根下垂到-1/12处的抛物线如果f(x)直接取为跳变函数,也就是在n=N处突然截断,那么就不会有...

这些意想不到的包含π的公式,给数学研究增添了很多乐趣

这个问题的答案是2/π,但是“圆”藏在哪里呢?假设针的中心落在两条线之间,我们可以不失一般性地假设针以及两条线之间的距离是2个单位长。设针的中心为x,我们把这两条直线放在一个坐标系中,使得最接近x的垂直线在0处穿过x轴(因此,它就扮演了第二个轴的角色)。我们可以用下图来说明:红蓝线说明了这...

世界上第一个证明π是无理数的方法—高中生也能理解

若f(x)在x=0处n阶连续可导,则下式成立:其中表示n阶导数且(0<θ<1)。因为y=sinx在x=0处具有任意阶导数,用麦克劳林公式在x=0处展开sinx,得到:同样展开cosx得到:▌证明过程第一步,兰伯特得到了tanx的连分数表示:第二步,兰伯特证明了,当x是除0之外的有理数时,tanx是无理数。所以tan(1/2)、...

泰勒中值定理与泰勒公式计算思路与典型题分析

(1)将函数的变量描述为x-x0的函数形式,x变量不再以其它形式存在于函数表达式中;(2)将函数描述为已知麦克劳林公式的基本初等函数的结构,即sinx,cosx,ex,ln(1+x),(1+x)a,其中x可以是任意的表达式,如果将其替换为x-x0,则得函数在x=x0处的泰勒公式.注变换思路可以考虑两个方向,求麦克劳林公式...

大学高等数学:第六章第一讲泰勒公式1

列1:写出函数f(x)=e^x的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式列2求f(x)=sinx的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式列3利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式,求极限x→0,lim(sinx-xcosx)/sin^3x今天我们学习的泰勒公式1中的泰勒中值定理1和2,希望大家能够配合着题目做做,便于对泰勒中值定理的理解更深入一个层...

泰勒级数经典之作:有关泰勒级数前几项的几何原理

这就和泰勒级数或麦克劳林级数的二次项一样了,我们已经知道了点a附件的导数信息,所以面积f(X)=黄色矩形面积近似三角形面积蓝色区域面积,黄色矩形的面积是关于一阶导数所以就得到泰勒级数二次项以下各项的几何原理备注:思路和图片取自3blue1brown,大家有兴趣可以去学习下完整的视频(www.e993.com)2024年11月27日。

震惊!计算器里竟然藏着这样一个秘密!

这个当然不能直接抵消,由于arctan(tan(x))≠x,我们作复展开。严格来说这两者不是完全相等的,因为这样一来消掉了奇点。不过积分的时候完全可以划等号,因为区间开闭完全不影响积分值。综上所述,最后代入值,我们得到了:(*真男人从不回头看数值验证*)(2+IIntegrate[Log[-I/E^(I*(t-Sin[t])...