为什么雨滴落下不会砸死人?《张朝阳的物理课》推导斯托克斯定律

注意看最后一个式子所描述的空气阻力,它正是斯托克斯定律所给出的表达式,其中μ是空气的粘滞系数,R是雨滴半径,v是雨滴相对空气的速度,这三个量的一次方相乘再乘以6π就得到了球形物体在不可压缩定常流体中所受到的阻力。本节课的任务,正是从基本的流体力学最基本的NS方程出发,推导出斯托克斯定律。不过在进入正题...

张朝阳求纳维尔斯托克斯方程的特解

上式第一个部分只与f(r)有关,第二个部分只与g(θ)有关,所以它们应该都等于一个常数,注意到这个方程和《张朝阳的物理课(第一卷)》中氢原子薛定谔方程的形式一模一样,不妨就借鉴那里的思路,令这个常数等于角量子数l(l+1)。对于径向部分,取(17)式的第一部分和第三部分做比奈(Binet)变换令ψ=rf,上式可...

布洛赫电子的拓扑与几何

其中unk(x)是磁布洛赫函数的系数部分。从贝里相位的角度来看，这里的参数空间就是动量的布里渊区，具有环面的拓扑结构(图3)。因而，这个式子代表了一个以为单位的拓扑陈数，必须是量子化的。图2整数量子霍尔效应(摘自TsuiD.ReviewsofModernPhysics，1999，71：891)图3二维布里渊区等价于环面但是，...

数学家利用AI在椭圆曲线中发现了意想不到的模式

椭圆曲线将一个变量(通常记为y)的平方与另一个变量(通常记为x)的三次方联系起来:y??=x??+Ax+B,其中A和B是满足一定条件的两个数字。这个方程定义了一个可以绘制在平面上的曲线,如下所示。(尽管名称相似,椭圆(ellipse)并不是椭圆曲线(ellipticcurve)。)虽然看起来很简单,但...

最简单的微分方程中怎么会包含圆周率?涉及无理数时,没有巧合

在这个图形中,x轴代表时间,y轴代表手推车的位置。图形一开始看起来相当合理。手推车从x=1开始,当接近中点x=0时加速,然后当弹簧压缩时再次减速,向着x=-1移动,然后减速到速度为0,然后改变方向。如果我们在现实生活中做这个实验,我们会看到它从+1到-1需要稍微超过3秒,正如图形预测的。

量子力学之路(2)——从微分方程中看天体运动,数学是宇宙的诗歌

从数学上讲,s_1-s_2表示从第二个物体的位置到第一个物体的矢量,矢量的大小用绝对值表示(www.e993.com)2024年11月12日。这个表达式看起来很奇怪,因为分母是距离的3次方。但是分子式中的s_1-s_2也是距离单位。对于作用在一个物体上的总力,我们可以把每一个物体对第一个物体施加的力加起来。

听三位诺贝尔奖得主讲引力波 | 袁岚峰

更具体地说，引力波在距离为L的两点之间产生的变形，等于L乘以一个常数h。实验上真正要测量的目标，就是这个比例常数h。但是这个比例常数小得惊人。对于两个黑洞合并、把三个太阳质量的能量转化为引力波这样暴烈的事件（这就是2015年9月14日探测到的引力波事件），h也只有10的-21次方的量级！LIGO的光路长度是4...

蔡天新:数学与人类文明(三)

x=(x_1y_2+x_2y_1)/(y_1+y_2)=(x_2f(x_1)-x_1f(x_2))/(f(x_1)-f(x_2)),如果f(x)是一次函数,则这个解答是精确的;而对于非线形函数,这个解答只是一个近似值。因此,在今天看来,盈不足术相当于一种线形插值法。

周期模式的发现者——纪念乌克兰数学家沙可夫斯基

因为两个递减映射的复合映射是递增映射,递增映射与递减映射的复合映射是递减映射,我们得到结论:f3在(3,4)上递减。这样f3的图像在(3,4)上方只能穿过对角线y=x一次,而交点就是f的图像与对角线的那个交点(p,p)。所以,映射f在(3,4)内也没有周期为3的周期点。

从小提琴中振动出的波动方程,成了支撑现代科技的基础理论之一

例如,在三维空间中,我们使用三个空间坐标(x,y,z)和一个时间t。波由一个依赖于这四个坐标的函数u来描述。例如,它可以描述声波穿过空气时空气中的压力。用与达朗贝尔相同的假设,同样的方法可以得到一个同样漂亮的方程:括号里的公式叫作拉普拉斯公式。这个表达式在数学物理中经常出现,所以它有自己的特殊...