对话2023年阿贝尔奖得主卡法雷利:跳跃在偏微分方程的世界
偏微分方程,特别是非线性偏微分方程,在物理学中无处不在,从引力到流体动力学都有。它们在数学中也很重要,并已被用于解决庞加莱猜想和卡拉比猜想等问题。物理学中的许多基本偏微分方程,如广义相对论的爱因斯坦方程和纳维—斯托克斯方程(Navier–Stokesequations),都是准线性的(quasilinear,这意味着只出现最高阶导...
视觉艺术、设计和微分方程
微分方程是包含一个或多个涉及函数导数的项的方程,微分方程的解是使方程成立的函数。一个微分方程和一个特定的值,称为初始条件,在域中给定点的解决方案,被称为初值问题。初值问题的解必须同时满足微分方程和初始条件。许多微分方程无法直接求解。第3-6节中出现的微分方程可以手动分析。如果我们找不到一个微分方程...
量子力学之路(2)——从微分方程中看天体运动,数学是宇宙的诗歌
第三个运动方程是z(t)=0。角运动方程根据一阶微分方程的知识,我猜这个方程是两个函数乘积的时间导数。我们从标准乘积法则开始在这种情况下,可以让g(t)=φ'(t)。为了让它成立,我们需要将方程乘以某个函数μ(t)解出这个方程函数μ(t)被称为积分因子。如果你不知道,我建议你开始学习微分方程:...
微分方程,常微分方程,差分方程模型实例分析
在Matlab中,符号运算工具箱提供了功能强大的求解常微分方程的符号运算命令dsolve。常微分方程在Matlab中按如下规定重新表达:符号D表示对变量的求导。Dy表示对变量y求一阶导数,当需要求变量的n阶导数时,用Dn表示,D4y表示对变量y求4阶导数。由此,常微分方程y’’+2y’=y在Matlab...
最美的公式:你也能懂的麦克斯韦方程组(微分篇)
我们任意画一个曲面,这个曲面可以是闭合的,也可以不是,然后我们让电场线、磁感线穿过这些曲面,它们就两两结合形成了四个积分形式的方程组。从这里我们能感觉到:麦克斯韦方程组的积分形式是从宏观角度来描述问题,这些曲面都是宏观可见的东西。那么微分形式呢?微分形式似乎应该从微观角度去看问题,那么我们要怎样把...
《张朝阳的物理课》讨论量子力学核心理论:薛定谔方程是怎么被“猜...
至此,张朝阳开始介绍求导得出动量和能量的方法(www.e993.com)2024年10月2日。在平面波的式子中,动量和能量都出现在指数上,但是只要我们对位置x和时间t求偏导数,相应的动量和能量不就下来了吗?于是,张朝阳又展示了如下推导:组合在一起就得到了有关这个平面波函数的方程。张朝阳强调,这个方程是线性偏微分方程,因此,它的各个解的线性组合,...
无限深势阱的薛定谔方程怎么解?《张朝阳的物理课》初探薛定谔方程
至此,张朝阳开始介绍求导得出动量和能量的方法。在平面波的式子中,动量和能量都出现在指数上,但是只要我们对位置x和时间t求偏导数,相应的动量和能量不就下来了吗?于是,张朝阳又展示了如下推导:组合在一起就得到了有关这个平面波函数的方程。张朝阳强调,这个方程是线性偏微分方程,因此,它的各个解的线性组合,...
薛定谔方程是怎么被“猜”出来的?《张朝阳的物理课》讨论量子力学...
至此,张朝阳开始介绍求导得出动量和能量的方法。在平面波的式子中,动量和能量都出现在指数上,但是只要我们对位置x和时间t求偏导数,相应的动量和能量不就下来了吗?于是,张朝阳又展示了如下推导:组合在一起就得到了有关这个平面波函数的方程。张朝阳强调,这个方程是线性偏微分方程,因此,它的各个解的线性组合,依然是...
用柯西公式求解线性微分方程组,绝妙且难以想到的方法
动力系统描述了复杂物理现象的力学和行为,通常涉及到多个以某种方式相互耦合的微分方程。当常微分方程组(ODE)是线性的,意味着微分方程中出现的未知函数和该函数各阶导数都是一次的;我们可以用线性代数技术同时解出所有的方程。在本文中,我们关注一类特殊的线性常微分方程组,...
matlab求解常微分方程/偏微分方程
3.Matlab求解偏微分方程%(1)问题定义g='circleg';%单位圆b='circleb1';%边界上为零条件c=1;a=0;f=1;%(2)产生初始的三角形网格[p,e,t]=initmesh(g);%(3)迭代直至得到误差允许范围内的合格解error=[];err=1;whileerr>0.01,...