这本书做到了国内微分几何教材的天花板!读者:小说一般数学教材
答案是,那时的球面几何只是将球面看作它所在的三维空间的一部分,只考虑它从三维欧几里得空间遗传下来的性质,根本没有考虑球面内部的二维几何.如果将球面看作欧几里得平面的替代品,不仅欧几里得第五公设不成立,更多基本公设也可能不成立.例如,欧几里得第一公设“总是可以画出连接两点的唯一一条直线”在球面上就有问题了...
高斯的绝妙定理:现代微分几何的诞生
设曲面S上围绕在点p周围的一片面积为δA,它在上的像是围绕在点n(p)周围的一片球面,面积为.顺理成章地,δA在S的等距变换下是不变的。根据漂亮定理(13.1).也是不变的。因此,立即得到以下绝妙定理:实验。将香蕉的两端向里推,看看香蕉皮在点p处会发生什么变化:曲率半径ρ1缩小了(因...
席南华:基础数学的一些过去和现状|黎曼|代数|数论|群论|拓扑学|...
几何分析是微分几何与微分方程的交叉学科,丘成桐,后来还有哈密顿等人在其中的建立和发展起了突出的作用,是一个有力的工具,也是非常活跃的研究方向。2007年布仁德尔和舍恩用几何分析的方法证明了微分球定理,是流形理论中一个重要结论。球面带来的深刻数学还很多。1956年,米尔诺发现七维球面上有非标准的微分结构。这一发...
数学中的“太极”:切触几何的柔与刚
中的超曲面S={F(x1,…,xn,y1,…,yn,z)=0},那么微分方程的解就对应于S中n维曲面C,使得C的切空间是包含在超平面中。后者便是上的标准切触结构,而这样的曲面C则被称为勒让德子流形。如此,对于一阶微分方程的解,我们便有了如下的几何解释:的解??F(x1,…,xn,y1,…,yn,z)=0中的勒让德子...
几何在物理学中有何妙用?
当电磁波在某些特殊介质中传播的时候,其参数空间中也会出现这种适用毛球定理的情形。尽管描述动力学过程的一堆偏微分方程难以求解,但是仅凭拓扑性质就可以判断零点一定会出现。这种纯粹由拓扑性质所催生的特殊点往往对应着某种“拓扑激发”。拓扑理论之所以能够发挥出巨大威力,凭借的是将各种拓扑不变量与物理场中的各种...
浅谈黎曼度量的计算问题
韦伊问题:在单位球面上给定一个黎曼度量,满足高斯曲率恒正,求曲面在三维欧式空间中的等距嵌入(www.e993.com)2024年7月31日。韦伊问题比亚历山大的问题困难一些,因为曲面的参数化未定,所有可能的曲面参数化构成了球面的微分同胚群,过于庞大。这个问题的离散化提法如下:我们有一个零亏格的三角网格(二维单纯复形),给定边长使得在每个面上满足三角形不...
最美的公式:你也能懂的麦克斯韦方程组(微分篇)
01微分形式的静电在积分篇里,我们是这样描述静电的:我在空间里任意画一个闭合曲面,那么通过闭合曲面的电场线的数量(电通量)就跟这个曲面包含的电荷量成正比。用公式表述就是这样:打开网易新闻查看精彩图片这就是积分形式的高斯电场定律:左边表示通过闭合曲面S的电通量(E是电场强度,我们把面积为S的闭合曲面分割...
流形、微分几何与黎曼度规
流形与微分几何学以前的人们很自然地会以为地球是平坦的。他们相信最好的描述宇宙的几何学是3维欧几里得几何学。然而,这是错误的,和相信2维欧几里得几何学是地球表面最好的模型同样错误。现在我们知道了地球表面其实是球面,看起来像一个平面,是因为它很大。
为什么几何学这么难?如何从群论的角度看几何学?
因为存在很多很多的连续变形,要想说两个图形在这个意义下不等价就很难了。例如,似乎很明显,球面不能连续变形为一个环面,因为它们是本质不同的图形——一个有“洞”,一个没有。然而,把这种直观变成严格的论证并非易事。更详细的涉及不变式、代数拓扑、微分拓扑。我们后面慢慢讨论。
你可能永远无法想象,一个三维数学问题远比其他任意维问题复杂
注意,一个常规的曲面,如球面或环面,是一个二维对象。虽然这个曲面所包围的部分是三维的,但这曲面本身是二维的。除了平面之外,任何曲面只能在三维或更高维的空间中构造。于是,任何闭曲面都需要三维或更高维的空间。例如,构造一个球面或一个环面就要取一个三维空间,构造一个克莱因瓶就要取一个四维空间。然而,一个...