【青鸟飞扬教育】单调有界定理

证明:数列$a_n$收敛,且其极限为$\sqrt\sigma$.证明:由数学归纳法可知,$a_n>=\sqrt\sigma$,又$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac12(a_n+\frac{\sigma}a_n)}{a_n}=\frac12(1+\frac{\sigma}{a_n^2})<\frac12(1+1)=1$,即$a_n$单调递减有下界,由单调有界定理,数列$a_n$收敛....

席南华:基础数学的一些过去和现状

比尔卡与合作者对很宽泛的一类奇点建立了极小模型和典范模型,进而比尔卡证明了法诺簇的有界性,他因这些工作于2018年获菲尔兹奖。前面提到的黎曼-罗赫定理是极其重要的定理,它计算了某些函数空间的维数。1954年希策布鲁赫把它推广到高维,现称为希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理。这是他最为人知的工作,其实他对拓扑、复分...

数学爱好者必看:5个有趣的数学事实大揭秘!

面积:初始三角形的面积是√3/4。每次迭代增加的面积是前一次迭代面积的1/9,每次迭代都会增加新的三角形,但它们的面积越来越小,是一个收敛的几何级数。通过计算这个几何级数的和,我们可以得到科赫雪花最终的面积A=2√3/5,这是初始三角形面积的8/5倍。这个结果表明科赫雪花的面积却是有限的,并且只...

上下求索之解码数学中著名的分形——曼德尔布罗特集合(下)

然而,对于精心选择的点,函数可能会产生保持有界但从不振荡的数列——它们不断在新的、不同的值之间跳跃。但是,如果MLC是真的,杜阿迪和哈伯德证明,这种非振荡数列一定是罕见的——数学家们想要证明或反驳他们碰巧正在研究的任何动力系统,这种特性被称为“双曲线密度”(densityofhyperbolicity)。“这基本上是动力学...

期末来了:《函数与极限》应知应会题型、求解思路与典型练习 (二)

可以判定级数收敛,即收敛,等价于数列收敛.然后对递推式两端取极限得到极限值.(4)拉链定理.如果以上方法失败,而数列又不具有单调性,可以尝试改写为奇数项构成的数列与偶数项构成的数列,并基于原数列的递推式得到各自的递推关系式,然后分别基于以上某个方法,尤其是单调有界原理来验证两个数列极限的存在性与求...

递推数列存在极限的证明与极限值求解思路与典型题分析(三...

发现数列的前5项的大小关系为{x_2}<{x_3}>{x_4}<{x_5}>\cdots"data-formula-type="block-equation">因此,无法判定它们的单调性.但有界性容易得到,即有,或可以得到.其实,这个例题也可以借助单调有界原理来进行证明(www.e993.com)2024年11月16日。虽然该数列整体上不具有单调性,但是通过观察发现,它的奇数项构成的子...

考研数学:如何利用函数单调性证明数列单调性

当要证明数列收敛时,一般是结合单调有界准则,当然这只是方法之一,除此之外还有其它一些证明数列收敛的方法,如:夹逼准则、数学归纳法、递推法、收敛的定义,这些方法同学们要灵活运用。关键词:考研数学数列单调性函数单调性

数列极限重点中的重点:柯西收敛原理

1、从任意数列中可以选出一个单调子列。2、任何有界数列必可选出一个收敛子列。如果证明从中选出的单调子列的极限和数列通项极限相等那么就可以证明该数列有极限,首先令这个选出来的子列的极限是a,然后再去证明也是数列通项的极限即可,与必要性证明类似,教材中有详细步骤,这里只提供思想参考。

《数学概观》:讲解大学数学基本思想的一本好书

有了实数的严格定义和最小上界(即上确界)公理,就能够顺理成章地给出数列极限的定义和函数极限的定义,并且推导出了几条常用的极限定理,如数列的单调有界定理、子列定理和柯西极限定理等,这样就为讨论函数的连续性做好了准备。作者还重点介绍了函数列的一致收敛概念,并且严格证明了一致收敛的连续函数列的极限函数...

欧拉常数——最神秘的数字,调和级数的产物,至今看不清它的面貌

证明T_n是有界的。证明T_n是单调递减的,因此,有一个确定的极限,即γ(gamma)存在。为γ找到一个更严格的下限。为有兴趣的读者提供一些围绕级数收敛的额外(严格)细节。T_n是有边界的??首先,我们给出γ的下限。下面是y=1/x的图。在这里,我们利用了一个技巧,即用单位宽度的矩形条比较图下的面积,高...