数学悖论系列之五(无限大的悖论)

这种方法可以进一步推广到无限集合,为此数学家给出“势”的概念。集合的势是一个用来度量集合所含元素多少的量。对于两个集合A和B,如果存在从A到B的双射,就称A和B是等势的(即基数相等),记为:|A|=|B|。集合的势越大,所含的元素越多。当A=B时,一定有|A|=|B|,反之不一定成立。(1)可数无限(无穷)...

席南华:基础数学的一些过去和现状

其中一个核心的概念是等势:两个集合称为等势的如果它们之间能建立一一对应。有意思的一件事情是自然数集合和有理数集合等势,但与实数集合不等势。1874年,康托尔提出有名的连续统假设:实数集合的任何无穷子集要么与实数集合等势,要么与自然数集合等势。1940年哥德尔证明了这个假设与现有的公理体系不矛盾。20世纪...

典型习题:(010107)“问题变型”思想解题——集合等势的证明

根据波利亚的解题步骤,也是通常的基本步骤,首先必须明确问题的条件与结论。条件:已知两个区间与;结论:两个区间等势。等势的定义:设是两个集合,若存在一一映射,则称集与集是等势的.因此要证明这个问题的目标就是构建一个条件中的两区间之间的一一映射。美国著名的数学家波利亚,在他的世界名著《...

古埃及分数的现代奇遇

集合论中,一般通过映射来比大小:如果两个集合和之间存在一一对应的关系,则称二者等势,。如果与的某个子集等势,则。但是对于无限集和,它却有可能与自己的子集等势。可以证明,在等势意义下,自然数集是最小的无限集,而它包含的所有无限子集都与等势,这就包括了素数集。但是就上文中遇到的问题而言,...

P=NP:多项式时间可解背包问题和3-着色问题

以上已经证明了,所有给定的离散量都可以用最简离散量来实现一一映射,因此NP=P,但因为仅在多项式时间里讨论,理论上可解的问题实际上不可解。任意给定的离散量并不能代表所有的离散量,故从某种意义上又始终(可理解成实际上)存在NP>P。即从一一映射的角度分析,NP与P是等势的,故可找到等量的函数表达...