太精彩了!火柴人VS数学的这个视频我一口气看了无数遍…

证明根号2为无理数本身都是令人费解的,逻辑与几何直觉分道扬镳。深入的内容可以学一些浅显的代数数论内容,也就是域论,包纳根号2作为有理数域的扩张Q[√2],你会发现数字的结构非常复杂,几乎能找到所有的数学结构,所以数论也被誉为王冠上的明珠,无数的数学家投身其中,希望破解自然的奥秘。这里根号2没有具体解...

精美的几何证明:根号2不是有理数

数论和分析的一个经典证明是证明无理数的存在,最常见的是平方根2是无理数。有很多方法可以证明这个结果,这是一个极其聪明但又直截了当的非理性证据。利用几何学的基本知识,我们可以从逻辑上证明平方根2是不合理的。这是个很有趣的小证明!令人惊奇的是,这个证据在历史上很大程度上被忽视了。也许这是因为我们的...

惊奇的简单证明:五种方法证明根号2是无理数

根号2是无理数,我们证明到了。根号3呢?根号5呢?你可能偶尔看到过,Theodorus曾证明它们也是无理数。但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。你可以在网上看到,Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问:怪了,为什么证到17就不证了...

√2是个无理数, 没有尽头, 为什么边长为1的直角三角形可以画出来?

通过这一新的比例论,希腊数学家可以严格地将可公度量的证明推广到不可公度的量,从而解决了不可公度带来的逻辑上的矛盾。欧多克斯比例论实际上是为了避免把无理数当作数,这个理论给不可公度量的比例提供了逻辑依据,但是也将数同几何截然分开,而且使希腊数学的重点从数转向了几何,因为几何可以处理无理数。在此后的...

一个无理数引发第一次数学危机,这个数学家献出了宝贵的生命!

希帕索斯是古希腊大数学家毕达哥拉斯的学生，因他发现了第一个无理数“根号2”，被他的老师毕达哥拉斯派人推入江中活活淹死。被处死的理由极为可笑，竟然是因为希帕索斯发现的“根号2”触犯了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条。“万物皆数”到底是一个什么东西，这还得详细地扒一扒毕达哥拉斯的八卦才能说得...

无理数被发现的过程曲折,他的研究推动了数学发展,自己却被处死

下面给出欧几里得《几何原本》中的证明方法：证明：假设√2不是无理数，而是有理数.既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q.再假设p和q没有公因数可以约，则可以认为p/q为最简分数.把√2=p/q两边平方得2=(p^2)/(q^2)，即2(q^2)=p^2，由于2(q^2)是偶数，p...

天才哈密顿,从四元数中构造出的代数系统,可以同非欧几何相媲美

因此,如果对于一个域的公设所定义的系统的一致性得到证明,那么无需进一步的证明,就可对复数和它们据以结合的通常规则得出类似的结论。哈密顿把复数考虑为数偶(a,b),(c,d)等等的理论中只需要给出和与积的定义就够了。(a,b)与(c,d)的和是(a+c,b+d);积是(ac-bd,ad+bc)。域中的0,1在这里...

3月14日“π日”:我们总是与π这个数学常数不期而遇

π是无理数中最著名的例子。就像根号2一样,无论分数有多复杂,都不能用来精确地表示π。证明这一点非常难,但数学家们知道如何做到。为此,我们肯定需要一个新符号,因为常规的数字符号无法精确地写出这个特别的数。由于π是在整个数学领域里最重要的数之一,因此我们需要有一种方式来明确表示它。这个方式就是...

你们要的证明来了——证明欧拉数e是无理数

证明2:e:^r是无理数,r是任何非零有理数。现在让我们来考虑e是无理数的第二个证明(见西蒙斯)图5:左边,法国数学家查尔斯·埃尔米特,我们的第二个证明的作者。对于这个证明,我们将使用以下辅助函数:方程8:这个函数f(x)将用于证明e^r是无理数。

数学史上第一次危机,竟是源自于勾股定理!

如果毕达哥拉斯学派的断言是正确的,那么直边和斜边应该是可通约的,因此存在一个有理数(即整数之比),恰好等于"根号2"。希帕索斯很快就证明,这是一个矛盾的结论。他兴高采烈地将自己的非凡发现告诉老师毕达哥拉斯。在经过仔细的检查之后,毕达哥拉斯进入了"两难"的境地。要么承认希帕索斯颠覆性的结论,从而推翻他的...